xDSL as Transmission Technology

1 Mögliche Bandbreitenbelegungen für xDSL
2 ADSL–Bandbreitenbelegung in Deutschland
3 VDSL(2)–Bandbreitenbelegung
4 Übertragungsverfahren im Überblick
5 Grundlagen der Quadratur–Amplitudenmodulation
6 Mögliche QAM-Signalraumkonstellationen
7 Carrierless Amplitude Phase Modulation (CAP)
8 Grundlagen von DMT – Discrete Multitone Transmission
9 DMT–Realisierung mit IDFT/DFT
10 Aufgaben zum Kapitel

Mögliche Bandbreitenbelegungen für xDSL

Die xDSL–Spezifikationen lassen den Betreibern viele Freiheiten hinsichtlich der Belegung.

Zur notwendigen Richtungstrennung der xDSL–Signalübertragung nach

Abwärtsrichtung vom Anbieter zum Kunden (Downstream mit möglichst hoher Datenrate),
Aufwärtsrichtung vom Kunden zum Anbieter (Upstream mit meist niedrigerer Datenrate)

wurden hierfür zwei Varianten standardisiert:

$\text{Definition:}$

Beim Frequenzgetrenntlageverfahren werden die Datenströme für die beiden Richtungen in zwei voneinander getrennten Frequenzbändern übertragen mit dem Vorteil, dass zur Trennung der Übertragungsrichtungen ein einfaches Filter genügt, was die technische Realisierung vereinfacht.
Beim Frequenzgleichlageverfahren überlagern sich in einem bestimmten Teil die Spektren von Upstream und Downstream. Die Trennung erfolgt hier mit Hilfe einer Echokompensationsschaltung. Vorteile des Verfahrens sind der geringere Bandbreitenbedarf bei höheren (und damit stärker gedämpften) Frequenzen sowie eine größere Reichweite.

Frequenzgetrennt– und Frequenzgleichlageverfahren

Die Grafik stellt diese beiden Möglichkeiten vergleichend gegenüber.

Grundsätzlich überlassen die Spezifikationen den Entwicklern/Betreibern die Entscheidung,

xDSL alleine auf der Teilnehmeranschlussleitung zu betreiben, oder
einen Mischbetrieb von xDSL mit den Telefondiensten POTS (Plain Old Telephone Service) oder ISDN (Integrated Services Digital Network) zu ermöglichen,
und somit den von den beiden Telefondiensten belegten unteren Frequenzbereich für xDSL auszuschließen oder auch zu belegen.

ADSL–Bandbreitenbelegung in Deutschland

Wegen der technisch deutlich einfacheren Realisierbarkeit fiel in Deutschland für ADSL und ADSL2+ die Entscheidung zugunsten

ADSL–Bandbreitenbelegung in Deutschland

des Frequenzgetrenntlageverfahrens,
die generelle Reservierung des unteren Frequenzbereichs für ISDN.

Das Frequenzgleichlageverfahren wird zwar teilweise noch verwendet, aber eher selten.

Bei den Übertragungsverfahren

QAM (Quadratur–Amplitudenmodulation) und
CAP (Carrierless Amplitude Phase Modulation)

wird die für DSL verfügbare Bandbreite nicht weiter zerlegt.

Dagegen werden beim Mehrträgerverfahren DMT (Discrete Multitone Transmission) der Aufwärtskanal und der Abwärtskanal in $N_{\rm Up}$ bzw. $N_{\rm Down}$ Subkanäle (englisch: Bins) zu je 4.3125 kHz aufgeteilt.
Außerdem ist zu obiger Grafik anzumerken:

Telefondienste (POTS bzw. ISDN) und xDSL liegen in verschiedenen Frequenzbändern, was die gegenseitigen Störungen im Bündelkabel minimiert. Das signalstärkere ISDN stört somit nicht das parallel laufende xDSL und umgekehrt.
Der untere Frequenzbereich bis $\text{120 kHz}$ wurde für ISDN (wahlweise POTS) reserviert. Dieser Wert ergibt sich aus der ersten Nullstelle des ISDN–Spektrums mit 4B3T–Codierung. Oberhalb von $\text{120 kHz}$ wird das ISDN–Spektrum vollständig unterdrückt.
Zur Trennung von Telefon– und xDSL–Signal wird an beiden Enden der Zweidrahtleitung ein Splitter eingesetzt, der je ein Tiefpassfilter und ein Hochpassfilter beinhaltet und auch die folgende Frequenzlücke bis $\text{138 kHz}$ berücksichtigt.
Nach dieser Belegungslücke folgt das ADSL–Upstream-Band von $\text{138 kHz}$ bis $\text{276 kHz}$. Diese Bandbreite erlaubt die Übertragung von $N_{\rm Up} = 32$ Subträgern zu je $\text{4.3125 kHz}$. Dieser Wert ergibt sich aus der Rahmenübertragungsgeschwindigkeit.
Der anschließende Downstream–Bereich reicht bei ADSL bis $\text{1104 kHz}$, womit $N_{\rm Down} = 256$ Subträger realisiert werden können. Die Trennung von Auf– und Abwärtskanal bei xDSL erfolgt über ein Bandpassfilter im Modem.
Allerdings dürfen die ersten $64$ Subträger $($dies entspricht $\text{276 kHz)}$ nicht belegt werden. Beim Frequenzgleichlageverfahren wären nur $32$ Subträger auszusparen, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Trennung von Aufwärts– und Abwärtsrichtung eine aufwändigere Realisierung erfordert.
Bei ADSL2+ ist die Systembandbreite gleich $\text{2208 kHz}$ ⇒ $N_{\rm Down} = 512$ Subträger. Die Anzahl der auszusparenden Bins bleibt gegenüber ADSL unverändert. Berücksichtigt man, dass zwei Bins von Kontrollfunktionen (beispielsweise zur Synchronisation von Sender und Empfänger) belegt werden, so verbleiben $190$ (ADSL) bzw. $446$ (ADSL2+) Downstream–Kanäle für Nutzer.
Die in Deutschland vorgeschriebene ISDN–Reservierung hat für xDSL allerdings die Konsequenz, dass die niedrigen Frequenzen, die bei einer Kupferleitung mit Abstand am wenigsten gedämpft werden und damit eigentlich am besten geeignet wären, nicht genutzt werden können.
Aus der Frequenzanordnung erkennt man weiterhin, dass die Downstream–Subkanäle stärker gedämpft werden als die Upstream–Subkanäle (höhere Frequenzen) und demzufolge ein kleineres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis (SNR) aufweisen.
Die Entscheidung „Upstream unterhalb Downstream” hängt damit zusammen, dass der Ausfall von Downstream–Kanälen nur eine vergleichsweise geringe Auswirkung auf die Übertragungsrate hat. Im Upstream würde sich ein solcher Ausfall prozentual viel stärker bemerkbar machen.

VDSL(2)–Bandbreitenbelegung

Für VDSL(2) hat die ITU mehrere Profile festgelegt. Für die in Deutschland eingesetzten Systeme gilt zum Zeitpunkt der Erstellung dieses Kapitels (2010) die in der Grafik angegebene Frequenzbandbelegung gemäß dem VDSL(2) Plan 998b – Profil 17a (Annex B) der ITU. Die (leicht) hellere Farbgebung bei den höheren Frequenzen soll darauf hinweisen, dass diese Kanäle stärker gedämpft werden.

VDSL(2)–Bandbreitenbelegung in Deutschland

Ohne Anspruch auf Vollständigkeit lässt sich dieser Belegungsplan wie folgt charakterisieren:

Um höhere Bitraten zu erreichen, werden hier achtmal so viele Bins verwendet als bei ADSL2+. Damit beträgt die Systembandbreite $8 · \text{2208 MHz = 17664 MHz}$, womit Übertragungsraten bis zu $\text{100 Mbit/s}$ (abhängig von Kabellänge und –beschaffenheit) ermöglicht werden.
Auch hier gilt, dass die Frequenzbänder für die Upstream–Subkanäle immer bei den niedrigeren Frequenzen angeordnet sind, da die größere Kabeldämpfung (mit der Frequenz zunehmend) beim Upstream einen prozentual größeren Einfluss auf die Gesamtbitrate hat als beim Downstream.
Bei VDSL(2)–Systemen wird stets das so genannte Frequenzgetrenntlageverfahren verwendet. Eine Überlappung der Upstream– und Downstream–Frequenzbänder ist in der ITU–Spezifikation für VDSL(2) kategorisch ausgeschlossen.
Bei den VDSL–Systemen in Deutschland sind die unteren Frequenzen wieder für ISDN reserviert. Danach folgen abwechselnd Bereiche für Upstream und Downstream. Aus den angegebenen Bereichsgrenzen erkennt man die gegenüber dem Downstream schmäleren Upstream–Bereiche.
Man erkennt eine abwechselnde Anordnung von Upstream– und Downstreambereichen. Ein Grund hierfür ist, dass bei diesem breiten Spektrum vermieden werden soll, dass eine Richtung (zum Beispiel abwärts) nur stark gedämpfte (also hohe) Frequenzen zugewiesen bekommt.
Die VDSL(2)–Spezifikation sieht Belegungspläne bis zu Systembandbreiten von $\text{30 MHz}$ (nach dem Profil 30a) vor, die Übertragungsraten bis etwa $\text{ 200 Mbit/s}$ auf kurzen Strecken ermöglichen sollen. Dafür wird auch die Bandbreite der einzelnen Subkanäle gegenüber ADSL auf $\text{8.625 kHz}$ verdoppelt.
Alle Belegungspläne werden mit verschiedenen Masken für das Leistungsdichtespektrum versehen, um so die maximale Sendeleistung und damit die Störung benachbarter Systeme im Kabelbündel (Nebensprechen) zu begrenzen.

Übertragungsverfahren im Überblick

Zu Beginn der verschiedenen Standardisierungsprozeduren für die einzelnen xDSL–Varianten wurden als Basis verschiedene Übertragungsverfahren festgelegt:

Pulscodemodulation (PCM) für ISDN sowie Trellis Coded–Pulse Amplitude Modulation für HDSL2 und SHDSL/SDSL,
Quadratur–Amplitudenmodulation (QAM) für QAM–ADSL und QAM–VDSL,
Carrierless Amplitude Phase Modulation (CAP) für CAP–HDSL und CAP–ADSL,
Discrete Multitone Transmission (DMT) für ADSL, ADSL2, ADSL 2+, VDSL und VDSL2.

Mit zunehmender Forderung des Marktes nach höheren Übertragungsraten und den damit verbundenen Anforderungen kristallisierten sich zwei geeignete Hauptverfahren heraus, nämlich $\rm QAM/CAP$ und $\rm DMT$.

Da sich die Hersteller von 1997 bis 2003 auch aus patentrechtlichen Gründen auf keinen gemeinsamen Standard einigen konnten (man spricht in diesem Zusammenhang sogar von Line Code Wars), kam es lange Zeit zur Koexistenz beider konkurrierender Verfahren. Bei den so genannten DSL–Olympics 2003 wurde schließlich die Entscheidung zugunsten von DMT getroffen,

einerseits wegen der etwas besseren „Performance” allgemein,
insbesondere aber wegen der höheren Robustheit gegenüber Schmalbandstörungen.

Insbesondere für die USA (viele Telefonfreileitungen und damit verbundene Probleme mit eingekoppelten Funksignalen) hat das zweite Argument eine große Rolle gespielt.

Die heutigen (2010) in Deutschland vorwiegend angebotenen xDSL–Varianten ADSL2(+) und VDSL(2) basieren alle auf dem Discrete Multitone Transmission–Verfahren, wobei aber die einzelnen Subträger durchaus mit QAM–Signalen belegt sein können.

Zunächst sollen aber in aller Kürze die Systeme $\rm xDSL–QAM$ und $\rm xDSL–CAP$ betrachtet werden.

Grundlagen der Quadratur–Amplitudenmodulation

Die Grafik zeigt das Referenzmodell für ADSL–QAM, wobei wir uns hier nur mit den roten Funktionsblöcken QAM–Modulator und QAM–Demodulator beschäftigen wollen.

Referenzmodell für ADSL–QAM

Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ liegt jeweils innerhalb des spezifizierten Auf– und Abwärts–Bandes der jeweiligen xDSL–Variante. Sie wird ebenso wie die Signalraumgröße (zwischen vier und 256 Signalraumpunkte) und die Symbolrate durch Kanalmessungen bei der Initialisierung der Übertragung festgelegt.

Für ADSL–QAM wurden folgende Symbolraten $($in ${\rm kBaud} = 1000 \ \rm Symbole/s)$ festgelegt:

Modell der Quadratur–Amplitudenmodulation

$20$, $40$, $84$, $100$, $120$, $136$ im Upstream,
$40$, $126$, $160$, $252$, $336$, $504$, $806.4$, $1008$ im Downstream.

Das Prinzip wurde bereits im Kapitel Quadratur–Amplitudenmodulation des Buches „Modulationsverfahren” ausführlich beschrieben.

Hier folgt nur eine kurze Zusammenfassung anhand der unteren Grafik.

QAM ist ein Einträgermodulationsverfahren um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Zunächst erfolgt eine blockweise Seriell–/Parallelwandlung des Bitstroms und die Signalraumzuordnung.
Aus jeweils $b$ Binärsymbolen werden zwei mehrstufige Amplitudenkoeffizienten $a_{{\rm I}n}$ und $a_{{\rm Q}n}$ abgeleitet (Inphase– und Quadraturkomponente), wobei beide Koeffizienten jeweils einen von $M = 2^{b/2}$ möglichen Amplitudenwerten annehmen können.
Das in der Grafik betrachtete Beispiel gilt für die $\text{16–QAM}$ mit $b = M = 4$ und dementsprechend $16$ Signalraumpunkten. Bei einer $\text{256–QAM}$ würde $b = 8$ und $M = 16$ gelten $(2^b = M^2 = 256)$.
Die Koeffizienten $a_{{\rm I}n}$ und $a_{{\rm Q}n}$ werden jeweils einem Diracpuls als Gewichte eingeprägt. Zur Impulsformung verwendet man (wegen der geringen Bandbreite) meist ein Cosinus–Rolloff–Filter. Mit dem Sendegrundimpuls $g_s(t)$ gilt dann in den beiden Zweigen des Blockschaltbilds:

$$ s_{\rm I}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}a_{\rm I\hspace{0.03cm}\it n} \cdot g_s (t - n \cdot T)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} s_{\rm Q}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}a_{\rm Q\hspace{0.03cm}\it n} \cdot g_s (t - n \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

Anzumerken ist ferner, dass wegen der redundanzfreien Umsetzung auf einen höherstufigen Code die Symboldauer $T$ dieser Signale um den Faktor $b$ größer ist als die Bitdauer $T_{\rm B}$ der binären Eingangsfolge. Im gezeichneten Beispiel (16–QAM) gilt $T = 4 · T_{\rm B}$.
Das QAM–Sendesignal $s(t)$ ist dann die Summe der beiden mit Cosinus bzw. Minus–Sinus multiplizierten Teilsignale (möglicherweise folgt noch eine Bandbegrenzung, um Interferenzen zu benachbarten Bändern zu verhindern, wie in der unteren Grafik angedeutet):

$$s(t) = s_{\rm I}(t) \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T}\,t) - s_{\rm Q}(t) \cdot \sin (2 \pi f_{\rm T}\,t) \hspace{0.05cm}. $$

Die beiden Zweige $(\rm I$ und $\rm Q)$ können wegen der Orthogonalität von Cosinus– und (Minus–) Sinus als zwei völlig getrennte $M$–stufige ASK–Systeme aufgefasst werden, die sich gegenseitig nicht stören, solange alle Komponenten optimal ausgelegt sind.
Das bedeutet gleichzeitig: Die Quadratur–Amplitudenmodulation ermöglicht gegenüber einer Binary Phase Shift Keying (BPSK: Modulation nur mit Cosinus oder Sinus) eine Verdoppelung der Datenrate bei gleichbleibender Qualität.

Quadratur–Amplitudenmodulation als Bandpass– und Tiefpassmodell

Die letzte Grafik zeigt

oben das Bandpass–Modell,
unten das äquivalente Tiefpass–Modell.

In diesem kombiniert man Inphase– und Quadraturkoeffizient zum komplexen Amplitudenkoeffizienten

$$a_n = a_{\text{I}n} + {\rm j} · a_{\text{Q}n}$$

und ersetzt zusätzlich das C–Signal $s(t)$ durch das äquivalente Tiefpass–Signal

$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} · s_{\rm Q}(t).$$

Die Darstellung des QAM–Senders und des QAM–Empfängers ist Inhalt der Flash–Animation Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation.

$\text{Fazit:}$

Mit steigendem Bitanzahl $b$ und damit größerer Anzahl definierter Symbole $(M^2)$ nimmt die Bandbreiteneffizienz zu, aber es steigt auch der Aufwand für die Signalverarbeitung.
Außerdem ist zu berücksichtigen, dass eine dichte QAM–Belegung nur bei ausreichend gutem Kanal angemessen ist.

Mögliche QAM-Signalraumkonstellationen

Wir betrachten noch an drei Beispielen mögliche Anordnungen der Signalraumpunkte bei der Quadratur–Amplitudenmodulation.

$\text{Beispiel 1:}$ Ein wichtiger QAM–Parameter ist die Bitanzahl $b$, die zum Amplitudenkoeffizientenpaar $(a_{\rm I}, a_{\rm Q})$ verarbeitet werden. Hierbei ist $b$ stets geradzahlig.

Signalraumkonstellationen $\rm 4\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$ und $\rm 16\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$

Ist $b = 2$, so kann sowohl $a_{\rm I}$ als auch $a_{\rm Q}$ nur die Werte $±1$ annehmen und es ergibt sich die $\rm 4\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$ entsprechend der linken Konstellation.

Entsprechend einer ITU–Empfehlung gilt dabei die Zuordnung:

$$q_1 = 0, \ q_0 = 0 \, \Leftrightarrow \,a_{\rm I} = +1, \ a_{\rm Q} = +1,$$

$$q_1 = 0, \ q_0 = 1 \, \Leftrightarrow \, a_{\rm I} = +1, \ a_{\rm Q} = -1,$$

$$q_1 = 1, \ q_0 = 0 \, \Leftrightarrow \,a_{\rm I} = -1, \ a_{\rm Q} = +1,$$

$$q_1 = 1, \ q_0 = 1 \, \Leftrightarrow \, a_{\rm I} = -1, \ a_{\rm Q} = -1.$$

Der gelb markierte Punkt 10 $(a_{\rm I} = -1, \ a_{\rm Q} = 1)$ steht also für $q_1 = 1$ und $q_0 = 0$.

Mit $b = 4$ ⇒ $M = 2^{b/2} = 4$ kommt man zur $\rm 16\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$ gemäß dem rechten Diagramm mit den möglichen Amplitudenkoeffizienten

$$a_{\rm I} ∈ \{±3, ±1\}, \ \ a_{\rm Q} ∈ \{±3, ±1\}.$$

Die Zuordnung lässt sich mit Hilfe des links unten angegebenen Hilfsgrafen ermitteln, wie die folgenden Zahlenbeispiele verdeutlichen.

$\rm (A)$ $q_3 = 1, \ q_2 = 0, \ q_1 = 1,\ q_0 = 1$ (gelbe Markierung):

Die beiden höchstwertigen Bit (Most Significant Bit, MSB) 10 bestimmen entsprechend dem $\rm 4-QAM$–Diagramm den Quadranten, in dem das Symbol liegt.
Die beiden niederwertigen Bit (11) legen zusammen mit dem Hilfsgrafen den Punkt innerhalb des Quadranten fest. Das Ergebnis ist $a_{\rm I} = -1$, $a_{\rm Q} = +3$.

$\rm (B)$ $q_3 = 0, \ q_2 = 1, \ q_1 = 1,\ q_0 = 0$ (grüne Markierung):

Die beiden höchstwertigen Bit (Most Significant Bit, MSB) 01 verweisen hier auf den vierten Quadranten.
Die beiden niederwertigen Bit (10) verweisen auf den grünen Punkt im vierten Quadranten: $a_{\rm I} = -3, \ a_{\rm Q} = -3$.

$\text{Beispiel 2:}$

Signalraumkonstellationen $\rm 4\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$ und $\rm 16\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$

Eine weitere Möglichkeit zur Beschriftung der Punkte bietet der Dezimalwert $D$.

Der gelb markierte Punkt im $\rm 4\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$–Diagramm ist binär mit 10 bezeichnet ⇒ dezimal $D = 2$. Dieser Punkt markiert gleichzeitig den Quadranten der $\rm 16\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$.
Die weitere Unterteilung ergibt sich aus der linken unteren Grafik. Dort steht beim gelben Punkt $4D + 3$ ⇒ 11 (dezimal). Deshalb steht der rechte obere Punkt (gelb markiert) im linken oberen Quadranten für dezimal $11$ ⇒ binär 1011.

Für den grünen Punkt ergibt sich mit $D = 1$ der Dezimalwert $4D + 2 ⇒ 6$, was der binären Darstellung 0110 entspricht.

Nach diesem Schema lassen sich auch die Signalraumkonstellationen für $\rm 64\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$ ⇒ $(b = 6, \ M = 8)$ und $\rm 256-QAM$ ⇒ $(b = 8, \ M = 16)$ entwickeln, worauf in der Aufgabe 2.3 im Detail eingegangen wird.

Zur Fehlerwahrscheinlichkeit bei $\rm 16\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$

$\text{Beispiel 3:}$ Wir betrachten noch für die beschriebene $\rm 16\hspace{0.05cm}–\hspace{-0.02cm}QAM$ (linke Grafik, hier als ITU-Vorschlag bezeichnet) die sich ergebende Fehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN–Rauschen:

Es kann davon ausgegangen werden, dass ein Fehler zu einem horizontal oder vertikal benachbarten Symbol führt, wie für den linken oberen (grünen) Punkt angedeutet.
Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p$ hängt von der Euklidischen Distanz der beiden Punkte und der AWGN–Rauschleistungsdichte $N_0$ ab.
Eine Verfälschung zum weiter entfernten blauen Punkt anstatt zu einem der beiden benachbarten gelben Punkte ist bei Gaußschem Rauschen eher unwahrscheinlich.

Alle Eckpunkte (grün hinterlegt) können nur in zwei Richtungen verfälscht werden. Dagegen haben die inneren QAM–Punkte (blau hinterlegt) vier direkte Nachbarn und die restlichen Symbole (gelb hinterlegt) drei. Für die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit gilt dann:

$$p_{\rm S} = {1}/{16} \cdot (4 \cdot 2 p + 8 \cdot 3 p + 4 \cdot 4 p) = 3p.$$

Zur Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ muss nun berücksichtigt werden, dass bei der linken Konstellation ein Symbolfehler

nur zu einem Bitfehler (Beispiel: 0100 ⇒ 0110, innerhalb eines Quadranten) oder
zu zwei Bitfehlern (Beispiel: 1111 ⇒ 0101, zwischen benachbarten Quadranten)

führt. Die Berechnung von $p_{\rm B} $ ist hier mit einem gewissen Aufwand verbunden.

Dagegen unterscheidet sich bei einer Gray–Codierung (rechtes Diagramm) jedes Symbol von seinen Nachbarn um genau ein Bit, und jeder Symbolfehler hat somit genau nur einen Bitfehler zur Folge. Da jedes einzelne Symbol vier Bit beinhaltet, gilt in diesem Fall für die (mittlere) Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B} = p_{\rm S}/4 = 3/4 \cdot p. $$

Carrierless Amplitude Phase Modulation (CAP)

Carrierless Amplitude Phase Modulation (CAP) ist eine bandbreiteneffiziente Variante der QAM, die sich mit digitalen Signalprozessoren sehr einfach realisieren lässt. Der Unterschied zur QAM liegt einzig darin, dass auf eine Modulation mit einem Trägersignal verzichtet werden kann.

Modell der Carrierless Amplitude Phase Modulation

Anstelle der Multiplikation mit Cosinus und Minus–Sinus wird hier eine digitale Filterung vorgenommen. $g_{\rm I}(t)$ und $g_{\rm Q}(t)$ sind die um $π/2$ phasenverschobenen Impulsantworten zweier transversaler Bandpassfilter mit gleicher Amplitudencharakteristik.
Beide sind zueinander orthogonal, das heißt, dass das Integral des Produkts $g_{\rm I}(t) · g_{\rm Q}(t)$ über eine Symboldauer den Wert Null ergibt.
Die so erzeugten Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ werden zusammengeführt, durch einen D/A–Wandler in ein zeitkontinuierliches Signal gewandelt und die bei der D/A–Wandlung erzeugten unerwünschten hochfrequenten Anteile vor dem Aussenden durch ein Tiefpassfilter (TP) eliminiert.
Beim Empfänger wird das Signal $r(t)$ zunächst mittels A/D–Wandler in ein zeitdiskretes Signal gewandelt und anschließend werden über zwei Finite–Impulse–Response–Filter (FIR–Filter) und nachgelagerte Entscheider die Inphase– und Quadratur–Symbole $a_{\rm I}$ und $a_{\rm Q}$ extrahiert.

CAP war der de–facto–Standard bei den anfänglichen ADSL–Spezifikationen bis 1996. Die Frequenzen bis 4 kHz wurden für POTS reserviert. Der CAP–ADSL–Aufwärtskanal belegte den Frequenzbereich von 25 kHz bis 160 kHz und der Abwärtskanal die Frequenzen von 240 kHz bis 1.5 MHz. Die folgende Grafik zeigt das Referenzmodell.

Referenzmodell für CAP–ADSL

Ein Problem bei CAP ist, dass ein „schlechter Kanal” dramatische Folgen auf die Übertragungsqualität hat. Deshalb findet man heute (2010) CAP–ADSL nur noch bei einigen wenigen HDSL–Varianten.

Grundlagen von DMT – Discrete Multitone Transmission

Discrete Multitone Transmission (DMT) bezeichnet ein Mehrträgermodulationsverfahren, das nahezu identisch mit Modulationsverfahren/Allgemeine Beschreibung von OFDM (OFDM) ist. Bei leitungsgebundener Übertragung spricht man meist von „DMT”, bei drahtloser Übertragung von „OFDM”.

In beiden Fällen unterteilt man die gesamte Bandbreite in viele schmalbandige äquidistante Subkanäle. Die jeweiligen Subträgersignale $s_k(t)$ werden individuell mit komplexen Datensymbolen $D_k$ beaufschlagt und die Summe der modulierten Subträgersignale wird als Sendesignal $s(t)$ übertragen.

Spektren bei OFDM und DMT

Die Grafik verdeutlicht das Prinzip von OFDM und DMT im Frequenzbereich, wobei teilweise die für ADSL/DMT spezifizierten Werte verwendet sind:

$255$ Subträger mit den Trägerfrequenzen $k · f_0$ ( $k = 1$, ... , $255 )$;
Grundfrequenz $f_0 = 4.3125 \ \rm kHz$, da $4000$ Datenrahmen pro Sekunde übertragen werden.
Nach $68$ Datenrahmen wird ein Synchronisationsrahmen eingefügt.
Aufgrund des zyklischen Präfix (siehe Kapitel Einfügen von Guard–Intervall und zyklischem Präfix) muss die Symboldauer $T = 1/f_0$ noch um den Faktor $16/17$ verkürzt werden.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen OFDM und DMT besteht darin, dass

bei OFDM das dargestellte Spektrum $S(f)$ in Wirklichkeit ein äquivalentes Tiefpass-Spektrum $S_{\rm TP}(f)$ beschreibt und noch die Verschiebung um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ zu berücksichtigen ist:

$$S_{\rm TP}(f ) = \sum_{k = 1}^{255} D_k \cdot \delta (f - k \cdot f_0)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} S(f) = \frac{1}{2} \left [ S_{\rm TP}(f - f_{\rm T}) + S^*_{\rm TP}(-(f + f_{\rm T}))\right ] \hspace{0.05cm},$$

bei DMT dagegen noch die Anteile bei negativen Frequenzen berücksichtigt werden müssen, die mit den konjugiert–komplexen Spektralkoeffizienten zu gewichten sind:

$$S(f ) = \sum_{k = 1}^{255} \left [ D_k \cdot \delta (f - k \cdot f_0) + D^*_k \cdot \delta (f + k \cdot f_0) \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Nach diesen Gleichungen besteht das komplexe OFDM–Signal $s_{\rm OFDM}(t)$ aus $K = 255$ komplexen Exponentialschwingungen. Das DMT–Signal $s_{\rm DMT}(t)$ setzt sich aus ebenso vielen Cosinusschwingungen mit Frequenzen $k · f_0$ zusammen (volle Belegung voausgesetzt). Trotz komplexer Koeffizienten $D_k$, die sich bei QAM–Belegung der Träger ergeben, ist das DMT–Signal wegen der konjugiert–komplexen Ergänzungen bei negativen Frequenzen stets reell.

Sowohl bei OFDM als auch bei der DMT ist allerdings das Sendesignal $s(t)$ zeitlich genau auf die Symboldauer $T = 1/f_0 ≈ 232 \ {\rm µs}$ begrenzt, was der Multiplikation mit einem Rechteck der Dauer $T$ bedeutet. Im Spektralbereich entspricht dies der Faltung mit einer Spaltfunktion $\text{si}(πfT)$:

Aus jeder Diracfunktion bei $k · f_0$ wird somit bei Berücksichtigung der zeitlichen Begrenzung eine si–Funktion an gleicher Stelle, wie im unteren Diagramm dargestellt.
Benachbarte Subträgerspektren überlappen sich zwar auf der Frequenzachse, aber bei $k · f_0$ sind wieder die Koeffizienten $D_k$ zu erkennen, da alle anderen Spektren hier Nullstellen aufweisen.
Für die untere Grafik ist ein symmetrisches Rechteck angenommen. Ein Rechteck zwischen $0$ und $T$ hätte noch einen Phasenterm zur Folge. Es würde sich aber bezüglich $|S(f)|$ nichts ändern.

$\text{Beispiel 4:}$ Geht man von den für den ADSL–Downstream günstigen Voraussetzungen aus, nämlich dass

pro Sekunde $4000$ Rahmen übertragen werden,
stets alle Subträger aktiv sind $(K = 255)$,
jeder Träger mit einer 1024–QAM $(b = 10$, laut ITU $8 ≤ b ≤ 15 )$belegt ist, und
ideale Bedingungen herrschen, so dass die in der Grafik erkennbare Orthogonalität erhalten bleibt,

so ergibt sich für die maximale Daten(bit)rate $R_{\rm B,max} = 4000 · K · b ≈ 10 \ \rm Mbit/s$.

Spezifiziert ist der ADSL–Downstream allerdings nur mit $2 \ \rm Mbit/s$ (Aussparung der $64$ untersten Träger wegen ISDN und Upstream, QAM–Belegung der stark gedämpften Träger mit weniger als $10$ Bit, Berücksichtigung des zyklischen Präfix sowie einige betriebsbedingte Gründe).

DMT–Realisierung mit IDFT/DFT

DMT–Gesamtsystem

Die obere Grafik zeigt das DMT–Gesamtsystem, wobei wir uns zunächst auf die beiden roten Blöcke konzentrieren. Die blauen Blöcke werden im nächsten Kapitel behandelt.

DMT–Sender und –Empfänger

In vereinfachter Form lassen sich Sender und Empfänger wie in der zweiten Grafik darstellen:

Zur Durchführung der DMT–Modulation wird beim Sender ein Block an Eingangsbits in einem Datenpuffer angesammelt, der als ein Rahmen übertragen werden soll.
Der QAM–Coder liefert pro Rahmen die komplexwertigen Datensymbole $D_1$, ... , $D_{255}$, die mit $D_0 = D_{256} = 0$ sowie $D_k = D_{512}–k∗ (k = 257,$ ... , $511)$ zum Vektor $\mathbf{D}$ der Länge $512$ erweitert wird. Als Konsequenz finiter Signale sind $D_{257}$, ... , $D_{511}$ identisch mit $D_{–255}$, ... , $D_{–1}$.
Die Spektralabtastwerte $\mathbf{D}$ werden mittels der Inversen Diskreten Fouriertransformation (IDFT) in den Vektor $\mathbf{s}$ der Zeitsignalabtastwerte umgerechnet, ebenfalls mit Länge $512$. Wegen der konjugiert–komplexen Belegung im Spektralbereich ist $\text{Im}[\mathbf{s}] = 0$.
Nach Parallel/Seriell– und Digital/Analog–Wandlung und Tiefpassfilterung von $\text{Re}[\mathbf{s}]$ ergibt sich das physikalische und damit reelle sowie zeitkontinuierliche Sendesignal $s(t)$. Für dieses gilt im Bereich $0 ≤ t ≤ T$ (Faktor 2, da jeweils zwei Koeffizienten zu Cosinus/Sinus beitragen):

$$s(t) = \sum_{k = 1}^{255} \left [ 2 \cdot{\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot{\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}. $$

Das Empfangssignal bei Übertragung über den AWGN–Kanal ist $r(t) = s(t) + n(t)$. Nach A/D– und S/P–Wandlung kann $r(t)$ durch den (reellen) Vektor $\mathbf{r}$ ausgedrückt werden. Die Diskrete Fouriertransformation (DFT) liefert dann Schätzwerte für die gesendeten Spektralkoeffizienten.

Belegung des DMT–Frequenzbandes mit QAM-Koeffizienten

$\text{Beispiel 5:}$ Betrachten wir als Beispiel den ADSL/DMT–Downstream.

In der linken Grafik erkennt man die Beträge $\vert D_k\vert $ der belegten Subkanäle 64, ... , 255. Die Träger 0, ... , 63 für den reservierten Frequenzbereich von ISDN und Upstream sind auf Null gesetzt.
Rechts daneben sind die Spektralkoeffizienten $D_{64}$, ... , $D_{255}$ in der komplexen Zahlenebene dargestellt, wobei der Signalraum sehr groß gewählt ist.

Sendesignal bei obiger DMT–Belegung

Die zweite Grafik zeigt das Sendesignal $s(t)$ für die Rahmendauer $T = {1}/{f_0} ≈ 232 \ \rm µs$, das sich durch TP–Filterung der IDFT–Werte $s_0$, ... , $s_{511}$ ergibt. Dieses Nutzsignal sieht nahezu aus wie Rauschen:

Das Hauptproblem des DMT–Verfahrens ist der ungünstige Crestfaktor, also das Verhältnis von Maximalwert $s_{\rm max}$ und dem Effektivwert $s_{\rm eff}$ (Wurzel aus der mittleren Leistung).
Der im beispielhaften Signalverlauf erkennbare große Dynamikbereich stellt hohe Anforderungen an die Linearität der Verstärker.
Bei Begrenzung des Aussteuerbereichs werden die Spitzen von $s(t)$ abgeschnitten, was wie eine Impulsstörung wirkt und eine zusätzliche Rauschbelastung für das System darstellt.

$\text{Fazit:}$ Zusammenfassend lässt sich sagen:

DMT ist im Prinzip die parallele Realisierung vieler schmalbandiger QAM–Modems mit unterschiedlichen Trägern und verhältnismäßig geringen Datenübertragungsraten.
Die geringe Bandbreite pro Subträger ermöglicht eine lange Symboldauer, vermindert somit den Einfluss von Intersymbolinterferenzen und verringert den Entwicklungsaufwand für Entzerrer.
Ein wesentlicher Grund für den Erfolg von DMT ist die technisch einfache Realisierung. IDFT und DFT werden mit digitalen Signalprozessoren (DSP) in Echtzeit gebildet.
Da die Vektoren die Länge $512$ (Zweierpotenz) besitzen, kann hierfür der besonders schnelle FFT–Algorithmus (Fast Fourier Transformation) angewendet werden.