Exercise 3.12: Strictly Symmetrical Channels

Vorgegebenes Teilkanalmodell (oben)
und BSEC–Modell (unten)

Die obere Grafik zeigt zwei streng symmetrische Teilkanäle $\rm A$ und $\rm B$. Ein streng symmetrischer Kanal (englisch: Strongly Symmetric Channel) ist dabei

gleichmäßig dispersiv (uniformly dispersive) ⇒ jedes Eingangssymbol $u$ hat die gleiche Menge an Übergangswahrscheinlichkeiten:

$$\left \{ P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.02cm}U}(y\hspace{0.03cm} |\hspace{0.03cm} u) \hspace{-0.05cm}: \hspace{0.25cm}u \in U \right \} \hspace{0.05cm},$$

zudem gleichmäßig fokussierend (uniformly focusing) ⇒ jedes Ausgangssymbol $y$ hat die gleiche Übergangswahrscheinlichkeitsmenge:

$$ \left \{ P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.02cm}U}(y\hspace{0.03cm} |\hspace{0.03cm} u) \hspace{-0.05cm}: \hspace{0.25cm}y \in Y \right \} \hspace{0.05cm}.$$

Die Zufallsgröße $U = \{0,\ 1\}$ tritt dabei direkt an den Eingängen der Teilkanäle $\rm A$ und $\rm B$ auf.

Die Kanalkapazität eines streng symmetrischen Kanals lässt sich sehr viel einfacher berechnen als im unsymmetrischen Fall. Hierauf wird jedoch in dieser Aufgabe nicht näher eingegangen.

Für die Kapazität des Gesamtkanals gilt:

$$ C = p_{\rm A} \cdot C_{\rm A} + p_{\rm B} \cdot C_{\rm B}\hspace{0.05cm}$$

Hierbei bezeichnet $p_{\rm A}$ die Wahrscheinlichkeit, dass der Teilkanal $\rm A$ ausgewählt wird und $C_{\rm A}$ gibt dessen Kapazität an. Entsprechendes gilt für den Teilkanal $\rm B$.

Anschließend soll auch die Kanalkapazität des Binary Symmetric Error & Erasure Channel $\rm (BSEC)$ nach der unteren Skizze (grau hinterlegt) ermittelt werden, indem der Zusammenhang hergeleitet wird zwischen

den Parametern $p_{\rm A}$, $p_{\rm B}$ und der Verfälschungswahrscheinlichkeit $q$ des oben dargestelltern Teilkanalmodells, und
den Parametern $λ$ und $\varepsilon$ des BSEC–Modells.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Anwendung auf die Digitalsignalübertragung.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Eigenschaften symmetrischer Kanäle.

Entsprechend der Aufgabe 3.10Z gilt für die Kanalkapazität des BSC–Modells mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$:

$$ C_{\rm BSC} = 1 - H_{\rm bin}(\varepsilon)\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Der Teilkanal $\rm A$ ist ein BSC (Binary Symmetric Channel) mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $q$ ⇒ Lösungsvorschlag 1.

(2) Der Teilkanal $\rm B$ ist ein Auslöschungskanal. Sowohl die Sinkenentropie als auch die Irrelevanz dieses Teilkanals sind Null ⇒ Lösungsvorschlag 3.

BSEC–Modell (oben) und
vorgegebenes Teilkanalmodell (unten)

(3) Die Kapazität $C$ des Gesamtkanals kann mit der angegebenen Gleichung berechnet werden:

$$ C = p_{\rm A} \cdot C_{\rm A} + p_{\rm B} \cdot C_{\rm B} = p_{\rm A} \cdot \big[1 - H_{\rm bin}(q)\big]\hspace{0.05cm}.$$

Hier stimmt somit der Lösungsvorschlag 2.

(4) Beim bisher betrachteten Modell ergeben sich folgende Übergangswahrscheinlichkeiten:

$${\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = {\rm E}\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 0) ={\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = {\rm E}\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 1) = p_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$

Beim BSEC–Modell sind die entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeiten gleich $λ$
⇒ siehe Grafik auf der Angabenseite.
Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2:

$$p_{\rm B} = \lambda = 1 - p_{\rm A} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm A} = 1- \lambda\hspace{0.05cm}.$$

(5) Beim BSEC–Modell (Binary Symmetric Error & Erasure Channel) gilt beispielsweise:

$$ {\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = 1\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 0) =\varepsilon \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ergibt sich bei unserem Hilfsmodell gemäß der unteren Grafik:

$${\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = 1\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 0) =(1- \lambda) \cdot q \hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man $q = ε/(1 – λ)$ ⇒ Lösungsvorschlag 4.
Die Grafik verdeutlicht anhand von Farben und Strichart (durchgezogen/gepunktet) den Zusammenhang zwischen den Modellen.

(6) Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (3), (4) und (5) erhält man allgemein für den Binary Symmetric Error & Erasure Channel:

$$C_{\rm BSEC} = (1- \lambda) \cdot \left [ 1 - H_{\rm bin}(\frac{\varepsilon}{1- \lambda}) \right ]\hspace{0.05cm},$$

bzw. die Zahlenwerte für $ε = 0.08$ und $λ = 0.2$:

$$C_{\rm BSEC} = 0.8 \cdot \big [ 1 - H_{\rm bin}(0.1) \big ] = 0.8 \cdot \left [ 1 - 0.469 \right ] \hspace{0.15cm} \underline {=0.425\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$

(7) Der Binary Symmetric Channel (BSC) ist ein Sonderfall des BSEC mit $λ = 0$:

$$ C_{\rm BSC} = 1 - H_{\rm bin}(\varepsilon) = 1 - H_{\rm bin}(0.08) = 1 - 0.402 \hspace{0.15cm} \underline {=0.598\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$

(8) Der Binary Erasure Channel (BEC) ist ein Sonderfall des BSEC mit $ε = 0$:

$$C_{\rm BEC} = (1- \lambda) \cdot \big [ 1 - H_{\rm bin}(0) \big ] = 1- \lambda\hspace{0.05cm}.$$

Mit $λ = 0.2$ ergibt sich hierfür $C_{\rm BEC} = 0.8 \ \rm bit.$

	$p_{\rm A} = λ,$
	$p_{\rm A} = 1 – λ,$
	$p_{\rm A} = ε$,
	$p_{\rm A} = ε/(1 – λ)?$

	$q = λ,$
	$q = 1 – λ,$
	$q = ε,$
	$q = ε/(1 – λ)?$

	$C_{\rm A} = 1 – H_{\rm bin}(q),$
	$C_{\rm A} = p_{\rm A} · \big[1 – H_{\rm bin}(q)\big],$
	$C_{\rm A} = 0.$

	$C_{\rm B} = 1 – H_{\rm bin}(q),$
	$C_{\rm B} = p_{\rm B} · \big[1 – H_{\rm bin}(q)\big],$
	$C_{\rm B} = 0.$

	$C = 1 – H_{\rm bin}(q),$
	$C = p_{\rm A} · \big[1 – H_{\rm bin}(q)\big],$
	$C = 0.$