Moments of a Discrete Random Variable

Berechnung als Schar- bzw. Zeitmittelwert

Die Wahrscheinlichkeiten und die relativen Häufigkeiten liefern weitreichende Informationen über eine diskrete Zufallsgröße. Reduzierte Informationen erhält man durch die so genannten Momente $m_k$, wobei $k$ eine natürliche Zahl darstellt.

$\text{Zwei alternative Berechnungsmöglichkeiten:}$

Unter der hier stillschweigend vorausgesetzten Ergodizität gibt es für das Moment $k$-ter Ordnung zwei unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten:

die Scharmittelung bzw. Erwartungswertbildung ⇒ Mittelung über alle möglichen Werte $\{ z_\mu\}$ mit der Laufvariablen $\mu = 1 , \hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , M$:

$$m_k = {\rm E} \big[z^k \big] = \sum_{\mu = 1}^{M}p_\mu \cdot z_\mu^k \hspace{2cm} \rm mit \hspace{0.1cm} {\rm E\big[\text{ ...} \big]\hspace{-0.1cm}:} \hspace{0.3cm} \rm Erwartungswert ;$$

die Zeitmittelung über die Zufallsfolge $\langle z_ν\rangle$ mit der Laufvariablen $ν = 1 , \hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , N$:

$$m_k=\overline{z_\nu^k}=\hspace{0.01cm}\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{\nu=\rm 1}^{\it N}z_\nu^k\hspace{1.7cm}\rm mit\hspace{0.1cm}\ddot{u}berstreichender\hspace{0.1cm}Linie\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.1cm}Zeitmittelwert.$$

Anzumerken ist:

Beide Berechnungsarten führen bei genügend großen Werten von $N$ zum gleichen asymptotischen Ergebnis.
Bei endlichem $N$ ergibt sich ein vergleichbarer Fehler, als wenn die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit angenähert wird.

Linearer Mittelwert - Gleichanteil

$\text{Definition:}$ Mit $k = 1$ erhält man aus der allgemeinen Gleichung für die Momente den linearen Mittelwert:

$$m_1 =\sum_{\mu=1}^{M}p_\mu\cdot z_\mu =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{\nu=1}^{N}z_\nu.$$

Der linke Teil dieser Gleichung beschreibt die Scharmittelung (über alle möglichen Werte),
während die rechte Gleichung die Bestimmung als Zeitmittelwert angibt.
In Zusammenhang mit Signalen wird diese Größe auch als der Gleichanteil bezeichnet.

Gleichanteil $m_1$ eines Binärsignals

$\text{Beispiel 1:}$ Ein Binärsignal $x(t)$ mit den beiden möglichen Amplitudenwerten

$1\hspace{0.03cm}\rm V$ $($für das Symbol $\rm L)$,
$3\hspace{0.03cm}\rm V$ $($für das Symbol $\rm H)$

sowie den Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_{\rm L} = 0.2$ bzw. $p_{\rm H} = 0.8$ besitzt den linearen Mittelwert (Gleichanteil )

$$m_1 = 0.2 \cdot 1\,{\rm V}+ 0.8 \cdot 3\,{\rm V}= 2.6 \,{\rm V}. $$

Dieser ist in der Grafik als rote Linie eingezeichnet.
Bestimmt man diese Kenngröße durch Zeitmittelung über die dargestellten $N = 12$ Signalwerte, so erhält man einen etwas kleineren Wert:

$$m_1\hspace{0.01cm}' = 4/12 \cdot 1\,{\rm V}+ 8/12 \cdot 3\,{\rm V}= 2.33 \,{\rm V}. $$

Hier wurden die Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_{\rm L} = 0.2$ bzw. $p_{\rm H} = 0.8$ durch die entsprechenden Häufigkeiten $h_{\rm L} = 4/12$ und $h_{\rm H} = 8/12$ ersetzt. Der relative Fehler aufgrund der unzureichenden Folgenlänge $N$ ist im Beispiel größer als $10\%$.

Hinweis zu unserer (zugegebenermaßen etwas ungewöhnlicher) Nomenklatur:

Wir bezeichnen hier Binärsymbole wie in der Schaltungstechnik mit $\rm L$ (Low) und $\rm H$ (High), um Verwechslungen zu vermeiden.

In der Codierungstheorie wird sinnvollerweise $\{ \text{L, H}\}$ auf $\{0, 1\}$ abgebildet, um die Möglichkeiten der Modulo-Algebra nutzen zu können.
Zur Beschreibung der Modulation mit bipolaren (antipodalen) Signalen wählt man dagegen besser die Zuordnung $\{ \text{L, H}\}$ ⇔ $ \{-1, +1\}$.

Quadratischer Mittelwert – Varianz – Streuung

$\text{Definitionen:}$

Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit $k = 2$ für den quadratischen Mittelwert:

$$m_2 =\sum_{\mu=\rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot z_\mu^2 =\lim_{N\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\sum_{\nu=\rm 1}^{\it N}z_\nu^2.$$

Zusammen mit dem Gleichanteil $m_1$ kann daraus als weitere Kenngröße die Varianz $σ^2$ bestimmt werden (Satz von Steiner):

$$\sigma^2=m_2-m_1^2.$$

Als Streuung $σ$ bezeichnet man in der Statistik die Quadratwurzel der Varianz; manchmal wird diese Größe auch Standardabweichung genannt:

$$\sigma=\sqrt{m_2-m_1^2}.$$

Hinweise zu den Einheiten:

Bei Nachrichtensignalen gibt $m_2$ die (mittlere) Leistung eines Zufallssignals an, bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
Beschreibt $z$ eine Spannung, so besitzt dementsprechend $m_2$ die Einheit ${\rm V}^2$.
Die Varianz $σ^2$ eines Zufallssignals entspricht physikalisch der Wechselleistung und die Streuung $σ$ dem Effektivwert.
Diesen Definitionen liegt wiederum der Bezugswiderstand $1 \hspace{0.03cm} Ω$ zugrunde.

Das Lernvideo Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen verdeutlicht die definierten Größen am Beispiel eines Digitalsignals.

Standardabweichung eines Binärsignals

$\text{Beispiel 2:}$ Ein Binärsignal $x(t)$ mit den Amplitudenwerten

$1\hspace{0.03cm}\rm V$ $($für das Symbol $\rm L)$,
$3\hspace{0.03cm}\rm V$ $($für das Symbol $\rm H)$

sowie den Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_{\rm L} = 0.2$ bzw. $p_{\rm H} = 0.8$ besitzt die gesamte Signalleistung

$$P_{\rm Gesamt} = 0.2 \cdot (1\,{\rm V})^2+ 0.8 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 7.4 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2,$$

wenn man vom Bezugswiderstand $R = 1 \hspace{0.05cm} Ω$ ausgeht.

Mit dem Gleichanteil $m_1 = 2.6 \hspace{0.05cm}\rm V$ $($siehe $\text{Beispiel 1})$ folgt daraus für

die Wechselleistung (Varianz) $P_{\rm W} = σ^2 = 7.4 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2 - \big [2.6 \hspace{0.05cm}\rm V\big ]^2 = 0.64\hspace{0.05cm} {\rm V}^2$,
den Effektivwert $s_{\rm eff} = σ = 0.8 \hspace{0.05cm} \rm V$.

Einschub: Bei anderem Bezugswiderstand ⇒ $R \ne 1 \hspace{0.1cm} Ω$ gelten nicht alle diese Berechnungen. Beispielsweise haben mit $R = 50 \hspace{0.1cm} Ω$ die Leistung $P_{\rm Gesamt} $, die Wechselleistung $P_{\rm W}$ und der Effektivwert $s_{\rm eff}$ folgende Werte:

$$P_{\rm Gesamt} \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} \frac{m_2}{R} \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} \frac{7.4\,{\rm V}^2}{50\,{\rm \Omega} } \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.148\,{\rm W},\hspace{0.5cm} P_{\rm W} \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} \frac{\sigma^2}{R} \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}12.8\,{\rm mW} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} s_{\rm eff} \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}\sqrt{R \cdot P_{\rm W} } \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} \sigma \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} 0.8\,{\rm V}.$$

Die gleiche Varianz und der gleiche Effektivwert $s_{\rm eff}$ ergeben sich für die Amplituden $0\hspace{0.05cm}\rm V$ $($für das Symbol $\rm L)$ und $2\hspace{0.05cm}\rm V$ $($für das Symbol $\rm H)$ , vorausgesetzt, die Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_{\rm L} = 0.2$ und $p_{\rm H} = 0.8$ bleiben gleich. Nur der Gleichanteil und die Gesamtleistung ändern sich:

$$m_1 = 1.6 \hspace{0.05cm}{\rm V}, \hspace{0.5cm}P_{\rm Gesamt} = P_{\rm W} + {m_1}^2 = 3.2 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2.$$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.2: Mehrstufensignale

Aufgabe 2.2Z: Diskrete Zufallsgrößen

Moments of a Discrete Random Variable

Contents

Berechnung als Schar- bzw. Zeitmittelwert

Linearer Mittelwert - Gleichanteil

Quadratischer Mittelwert – Varianz – Streuung

Aufgaben zum Kapitel