Exercise 1.6: Rectangular-in-Time Low-Pass Filter
From LNTwww
We consider below the constellation shown in the graph:
- The frequency response $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ in the lower branch is determined by the impulse responses of its two subcomponents.
- Here, $h_1(t)$ is constantly equal to $k$ in the reange from $-1\ \rm ms$ to $+1\ \rm ms$ and zero outside.
- At the range limits, half the value is valid in each case.
- The time variable drawn in the figure is thus $Δt = 2 \ \rm ms$.
The impulse response of the second system function $H_2(f)$ is:
- $$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$
The frequency response between the signals $x(t)$ and $z(t)$ is of high-pass character and generally:
- $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$
- For the subtasks (1) to (4) the following holds: $τ = 0$ ⇒ $H(f) = H_1(f)$.
- However, using $τ = 0$ this can also be formulated as follows $(Δt = 2 \ \rm ms)$:
- $$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$
- With no effect on the solution of the problem, note that this equation is not applicable for $τ ≠ 0$ because of:
- $$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$
Please note:
- The exercise belongs to the chapter Some Low-Pass Functions in Systems Theory.
- Reference is made especially to the page Slit low-pass filter.
Questions
Solution
(1) Die Bedingung $H(f = 0) = 1$ bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich $1$ ist. Daraus folgt:
- $$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:
- Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$.
- Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$:
- $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke führt zum trapezförmigen Ausgangssignal gemäß der Skizze.
- Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von $-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ bis $+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf und beträgt
- $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:
- Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Beide Anteile sind in der Skizze dargestellt.
- Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$.
In der unteren Skizze sind dargestellt:
- das Integral über $δ(t)$ blau,
- die Funktion $-σ(t)$ rot, und
- das gesamte Signal $z(t)$ grün.
- $z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: Der Signalwert bei $t = 0$ liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit Null.
- Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
(5) Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$.
- Diese springt bei $t = 0$ auf $1$ und klingt bis zum Zeitpunkt $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf den Endwert "Null" ab.
- Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
- Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren.
- Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ergibt sich also zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5 \: {\rm V}}$.