Exercise 3.7Z: Partial Fraction Decomposition

Pole-zero diagrams

In the graph, four two-port networks are given by their pole–zero diagrams $H_{\rm L}(p)$ .

They all have in common that the number $Z$ of zeros is equal to the number $N$ of poles.
The constant factor in each case is $K=1$.

In the special case $Z = N$ the residue theorem cannot be applied directly to compute the impulse response $h(t)$ .

Rather, a partial fraction decomposition corresponding to

$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$$

must be made beforehand. Then,

$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm}$$ holds for the impulse response.

$h\hspace{0.03cm}'(t)$ is the inverse Laplace transform of $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ , where the condition $Z' < N'$ is satisfied.

Two of the four configurations given are so-called all-pass filters.

This refers to two-port networks for which the Fourier spectral function satisfies the condition $|H(f)| = 1$ ⇒ $a(f) = 0$ .
In Exercise 3.4Z ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.

Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$–Übertragungsfunktion

$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2} \hspace{0.05cm}$$

⇒ "Konfiguration $(5)$" näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.

Hinweise:

The exercise belongs to the chapter Inverse Laplace Transform.
In particular, reference is made to the page Partial fraction decomposition.

Questions

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt.
Mit $K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$ ⇒ $|H(f)| = 1$.
Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man: Die Konfigurationen $(1)$ und $(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 4:

Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration $(4)$ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:

$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}} = \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2 }= H_{\rm L}^{(4)}(p) \hspace{0.05cm}.$$

Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$.

(3) Für die Konfiguration $(1)$ gilt:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0) =2} \hspace{0.05cm}.$$

(4) In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration $(2)$:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= \frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}= \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8 \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3 im Gegensatz zur Aussage 1:

Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.

(5) Für die Konfiguration $(3)$ gilt:

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} = 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$

Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.
Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$ ⇒ richtig ist hier nur der Lösungsvorschlag 2.

(6) Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$:

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist auch hier der Lösungsvorschlag 2. Allgemein lässt sich sagen:

Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
Die Pole von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.

	Konfiguration $(1)$,
	Konfiguration $(2)$,
	Konfiguration $(3)$,
	Konfiguration $(4)$.

	Konfiguration $(1)$,
	Konfiguration $(2)$,
	Konfiguration $(3)$,
	Konfiguration $(4)$.

	$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
	$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
	Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.