Exercise 4.12: Calculations for the 16-QAM

Signalraumkonstellation der 16–QAM

Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation der Quadraturamplitudenmodulation mit $M = 16$ Signalraumpunkten.

Für dieses Modulationsverfahren sollen berechnet werden:

die mittlere Energie pro Symbol bzw. pro Bit,
die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$,
die Union Bound $p_{\rm UB}$ als obere Schranke,
die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ bei Graycodierung.

Hinweise:

Die Aufgabe behandelt einen Teilaspekt des Kapitels Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation.
Die Gray–Zuordnung ist in der Grafik angegeben (rote Beschriftung).
Die Wahrscheinlichkeit, dass das linke obere Symbol in eines der benachbarten Symbole verfälscht wird, wird mit $p$ abgekürzt (blaue Pfeile in der Grafik).
Eine diagonale Verfälschung ⇒ zwei Bit verfälscht (grüner Pfeil) wird ausgeschlossen.
Für den AWGN–Kanal gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegrale für diese Hilfsgröße: $p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right )\hspace{0.05cm}.$
Verwenden Sie für numerische Berechnungen $E = 1 \ \rm mWs$ und $p = 0.4\%$.
Aus diesen Werten kann die AWGN–Rauschleistungsdichte $N_0$ näherungsweise berechnet werden:

$$p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right ) = 0.004 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} { 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = { E}/{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$E_{\rm S}\ = \ $

$\ \rm mWs$

$E_{\rm B}\ = \ $

$\ \rm mWs$

$p_{\rm UB} \ = \ $

$\ \%$

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \%$

Musterlösung

Solution

(1) Der Quotient $E_{\rm S}/E$ ergibt sich als der mittlere quadratische Abstand der $M = 16$ Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ vom Ursprung.

Mit der gegebenen Signalraumkonstellation der 16–QAM erhält man:

$$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} { E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot (1^2 + 1^2) + 8 \cdot (1^2 + 3^2) + 4 \cdot (3^2 + 3^2)\right ]={ E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot 2 + 8 \cdot 10 + 4 \cdot 18\right ] = 10 \cdot E = \underline{10 \ {\rm mWs}} \hspace{0.05cm}.$$

Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im Theorieteil angegebenen Gleichung

$$E_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{ 3 } \cdot E = \frac{ 2 \cdot 15}{ 3 } \cdot E = 10 E \hspace{0.05cm}.$$

(2) Jedes einzelne Symbol stellt vier Binärsymbole dar. Damit ist die mittlere Energie pro Bit.

$$E_{\rm B} = \frac{ E_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} = 2.5 \cdot E = \underline{2.5 \ {\rm mWs}} \hspace{0.05cm}.$$

Zur Verdeutlichung der 16–QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit

(3) Die Union Bound ist eine obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.

Sie berücksichtigt nur den Übergang zu benachbarten Entscheidungsregionen aufgrund von AWGN–Rauschen.
Aus der Grafik geht hervor, dass die Ecksymbole (gelb gefüllt) nur zu zwei anderen Symbolen hin verfälscht werden können und die restlichen Randsymbole (grüne Füllung) in drei Richtungen.
Der "worst case" sind die vier inneren Symbole (mit blauer Füllung) mit jeweils vier Verfälschungsmöglichkeiten. Daraus folgt:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) \le 4 \cdot p = \underline{1.6\%}= p_{\rm UB} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Zählt man die blauen Pfeile in obiger Grafik, so kommt man auf

$$4 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 48.$$

Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist somit gleich

$$p_{\rm S} = { E}/{ 16} \cdot 48 p = 3p = \underline{1.2\%} \hspace{0.05cm}.$$

Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im Theorieteil angegebenen Gleichung

$$p_{\rm S} = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ \sqrt{M}} \right ] = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ 4} \right ] = 3p \hspace{0.05cm}.$$

Beide Gleichungen gelten nur dann exakt, wenn man wie hier diagonale Verfälschungen ausschließt.

(5) Bei Graycodierung entsprechend der roten Beschriftung in der Grafik bewirkt jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler.

Da aber mit jedem Symbol $M = 4$ Binärsymbole übertragen werden, ist

$$p_{\rm B} = \frac{ p_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} = \frac{ 1.2\%}{ 4} = \underline{0.3\%} \hspace{0.05cm}.$$