Error Correction According to Reed-Solomon Coding

1. Channel Coding
2. Reed–Solomon–Codes and Their Decoding
3. Error Correction According to Reed-Solomon Coding

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Block diagram and requirements for RS error correction

As in the chapter  "Decoding at the Erasure Channel"  we consider a transmission system with Reed–Solomon–coding characterized by the two code parameters  $n=2^m-1$  and  $k$ . With the generator matrix  $\boldsymbol{\rm G}$  the relation between the information word  $\underline {u}$  and the codeword  $\underline {c}$ is:

\[\underline {c} = {\rm enc}(\underline {u}) = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm}\underline {u} = (u_0, u_1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, u_i, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, u_{k-1})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline {c} = (c_0, c_1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, c_i, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, c_{n-1}) \hspace{0.05cm}.\]

The information symbols  $u_i$  and also the code symbols  $C_i$  originate from the field  ${\rm GF}(q)$  with  $q=n+1=2^m$; they are representable by  $m$  binary symbols (bits).

Transmission system with Reed-Solomon coding/decoding and $m$ BSC

Ein Vergleich dieses Blockschaltbildes mit dem entsprechenden  "Blockschaltbild zur RS–Fehlererkennung"  zeigt:

• Der wesentliche Unterschied liegt im verwendeten diskreten Kanalmodell (grün hinterlegt). Anstelle des Auslöschungskanals  ("$m$–BEC")  wird nun der  $m$–BSC  betrachtet. Für jedes einzelne Bit des Codesymbols  $c_i$  wird der  Binary Symmetric Channel  (BSC) angewandt. Ein Bitfehler bezüglich des $i$–Bits ergibt  $y_i \ne c_i$.
  

• Im  letzten Kapitel  waren unsichere Bits bereits durch Auslöschungen  $\rm E$  (Erasures ) markiert. Aufgabe des  Codewortfinders  $\rm (CWF)$ war es, aus dem verstümmelten Empfangswort  $\underline {y}$  das Decodierergebnis  $\underline {z}$  zu rekonstruieren.
• Ist dabei die Anzahl  $e$  der Auslöschungen kleiner als die minimale Distanz  $d_{\rm min}$, so gelingt dies und man erhält  $\underline {z} = \underline {c}$. Andernfalls meldet der Codewortfinder, dass er das aktuelle Empfangswort  $\underline {y}$  nicht decodieren kann.   Eine Fehlentscheidung  $(\underline {z} \ne \underline {c})$  war beim BEC ausgeschlossen.
  

• In diesem Kapitel wird nun der erste Decoderblock als  Codewortschätzer  $\rm (CWS)$ bezeichnet. Die Namensgebung soll deutlich machen, dass aufgrund des  $m$–BSC–Modells Fehlentscheidungen  $(\underline {z} \ne \underline {c})$  unvermeidlich sind, nämlich dann, wenn mehrere Symbolfehler das Empfangswort  $\underline {y}$  zu einem gültigen Codewort verfälschen.
  
  

$\text{Fazit:}$ 

• Aufgabe des Decoders ist es, seinen Ausgangsvektor  $\underline {v}$  so zu bestimmen, dass er "möglichst gut" mit dem Informationswort  $\underline {u}$  übereinstimmt. Exakter formuliert:

\[{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{v} \ne \underline{u}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]

• Aufgrund des deterministischen Mappings  $\underline{c} = {\rm enc}(\underline{u})$  und  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{z})$  gilt in gleicher Weise:

\[{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{z} \ne \underline{c}) \stackrel{!}{=} { \rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]

Die zwei gelb hinterlegten Blöcke werden im Folgenden nicht weiter betrachtet. Im Mittelpunkt der Betrachtungen steht nun der rot hinterlegte Codewortschätzer  $\rm (CWS)$.

Mögliche Codewortschätzer für die RS–Decodierung

Die rechte Skizze der nachfolgenden Grafik verdeutlicht nochmals die Aufgabenstellung, wobei hier das Kanalmodell "$m$–BSC" durch den additiven  Fehlervektor  $\underline{e} = \underline{y} - \underline{c}$  ersetzt ist. Die linke Skizze verdeutlicht den Zusammenhang zwischen diesen drei Vektoren.

Zur Definition des Fehlervektors  $\underline{e}$

Diese Aufgabenstellung soll durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

Drei Darstellungsformen für  $\rm GF(2^3)$

$\text{Beispiel 1:}$  Alle Symbole seien Elemente von  $\rm GF(2^3) \in \{0, 1, \alpha^1, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4, \alpha^5, \alpha^6\}$. Zur Umrechnung

• zwischen der Koeffizientendarstellung $($mit der Reihenfolge  $k_2$,  $k_1$,  $k_0)$
• und der Exponentendarstellung $($als Potenzen des primitiven Elements  $\alpha)$

kann die nebenstehende Tabelle verwendet werden.

Codewort und Empfangswort lauten in diesem Beispiel in Koeffizientendarstellung:

\[\underline{c} = \Big ( (010), (001), (100),(010),(100),(111),(111)\Big )\hspace{0.05cm},\]

\[\underline{y} =\Big ( (011), (001), (000),(010),(100),(111),(111)\Big )\hspace{0.05cm}.\]

Damit ergibt sich für den Fehlervektor  $\underline{e} = \underline{y} - \underline{c}$:

\[\underline{e} \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm} \Big ( (001), (000), (100), (000),(000),(000),(000)\Big )\hspace{0.05cm}.\]

Umgewandelt in die Exponentendarstellung erhält man:

\[\underline{c} = \Big ( \alpha^1, \hspace{0.09cm}1\hspace{0.09cm}, \alpha^2,\alpha^1,\alpha^2,\alpha^5,\alpha^5\Big )\hspace{0.05cm},\]

\[\underline{y} =\Big ( \alpha^3, \hspace{0.09cm}1\hspace{0.09cm}, \hspace{0.09cm}0\hspace{0.09cm},\alpha^1,\alpha^2,\alpha^5,\alpha^5\Big )\hspace{0.05cm},\]

\[\underline{e} = \Big ( \hspace{0.09cm}1\hspace{0.09cm}, \hspace{0.09cm}0\hspace{0.09cm}, \hspace{0.05cm}\alpha^2,\hspace{0.12cm}0\hspace{0.12cm},\hspace{0.12cm}0\hspace{0.12cm},\hspace{0.12cm}0\hspace{0.12cm},\hspace{0.12cm}0\hspace{0.12cm}\Big )\hspace{0.05cm}.\]

Aufgabe des Codewortschätzers  $\rm (CWS)$  ist es, das zu  $\underline{y}$  wahrscheinlichste Codewort  $\underline{c}_i$  zu finden und sein Ergebnis  $\underline{z} = \underline{c}_i$  an das nachfolgende Mapping weiterzugeben. Hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten:

• Hard Decision Maximum Likelihood Decoding  $\text{(HD–MLD)}$,
  

• Bounded Distance Decoding  $\text{(BDD)}$,
  

• Decodierung über die halbe Mindestdistanz.
  
  

Diese Decodierprinzipien werden im Folgenden beschrieben.

Hard Decision Maximum Likelihood Decoding  $\text{(HD–MLD)}$:

Man wählt von allen möglichen Reed–Solomon–Codeworten  $\underline{c}_i$  $($hiervon gibt es insgesamt  $q^k)$  dasjenige mit der geringsten  Hamming–Distanz  zum Empfangswort  $\underline{y}$  aus. Somit lautet das Ergebnis:

\[\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{c}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}_{\rm RS}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{c}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}.\]

Die Entscheidung passiert hier auf der maximalen Rückschlusswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(\underline{c}_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\underline{y})$  und führt zum bestmöglichen Ergebnis. Näheres siehe  ML–Entscheidung beim BSC–Kanal. Es wird stets entschieden, selbst wenn die Anzahl  $r$  der Symbolfehler größer ist als die Korrekturfähigkeit  $t$  des Codes. In einem solchen Fall ist allerdings das Decodierergebnis sehr unsicher.

• Es sei nochmals erwähnt, dass bei Maximum–Likelihood–Decodierung immer entschieden wird.
• Ein Decodierversagen ist ausgeschlossen.
• Aber natürlich gibt es auch falsche Entscheidungen.
  
  

Bounded Distance Decoding  $\text{(BDD)}$:

Falls die Anzahl  $r$  der Symbolfehler im Empfangswort  $\underline{y}$  nicht größer ist als die Korrekturfähigkeit  $t = ⌊(d_{\rm min}- 1)/2⌋$  des Codes, kann man die  $r$  Symbolfehler vollständig korrigieren. Allerdings gilt auch:

• Der Fall  $r > t$  führt zu einem Abbruch des Decodiervorgangs ohne Ergebnis.   Anders ausgedrückt:
• Es werden nur diejenigen Empfangsworte zum Kugelmittelpunkt hin decodiert, die in einer Kugel um diesen mit Radius  $t$  liegen.
• Andere Empfangsworte werden als undecodierbar markiert, zum Beispiel als Erasure.
  
  

Decodierung über die halbe Mindestdistanz:

Hier wird auch im Fall  $r > t$  versucht, das Codewort zu decodieren. Im Gegensatz zu  $\text{HD–MLD}$, das ebenfalls über die halbe Mindestdistanz hinaus decodiert, ist hier aber ein Decodierversagen nicht per se ausgeschlossen.

Für den Rest dieses Kapitels beschäftigen wir uns ausschließlich mit Bounded Distance Decoding. Der Grund hierfür ist die enorme Komplexität der Maximum Likelihood Decoding  proportional zu  $q^{n-k}$.

Vorgehensweise beim „Bounded Distance Decoding”

Im Folgenden werden die einzelnen Schritte des BDD–Algorithmuses kurz und rezeptartig beschrieben. Auf den nächsten Seiten werden dann die einzelnen Punkte genauer behandelt und die Vorgehensweise an typischen Beispielen verdeutlicht.

$\rm (A)$   $\text{Berechnung und Auswertung des Syndroms}$   ⇒   Detaillierte Beschreibung

• Berechne aus dem Empfangswort  $\underline{y}$  und der Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H }$  des Codes das Syndrom  $\underline {s} = \underline {y} \cdot \boldsymbol{\rm H }^{\rm T}$.
• Ergibt sich  $\underline {s} =\underline {0}$, so setze den BDD–Ausgang  $\underline {z} =\underline {y}$  und beende den Decodiervorgang für dieses Empfangswort.
  
• Andernfalls setze den Parameter  $r = 1$  und mache mit Schritt  $\rm (B)$  weiter.
  
  

$\rm (B)$   $\text{Bestimmung der tatsächlichen Symbolfehleranzahl } r$  ⇒   Detaillierte Beschreibung

• Erstelle und überprüfe die Gleichungen  $\underline {\it \Lambda} _l \cdot\underline {s}^{\rm T} = 0$   für   $l = 1,$ ... , $2 \cdot t -r$  unter der Annahme, dass das Empfangswort genau   $r$   Symbolfehler beinhaltet.
  

• $\underline {\it \Lambda} _l $  bezeichnet die verallgemeinerten  $\text{ELP}$–Koeffizientenvektoren, wobei "$\text{ELP}$" für  Error Locator Polynom  steht, und  $t$  die Korrekturfähigkeit des Codes angibt.
  Für die Reed–Solomon–Codes gilt einheitlich  $t = ⌊(n-k)/2 ⌋$.
  

• Gibt es eine eindeutige Lösung, dann mache mit Schritt  $\rm (C)$  weiter.  Im Empfangsvektor  $\underline{y}$  sind dann tatsächlich genau  $r$  Symbole verfälscht und im Fehlervektor  $\underline{e}$  gibt es  $r$  Einträge ungleich $0$.
  

• Andernfalls erhöhe  $r$  um  $1$.   Falls  $r ≤ t$, dann wiederhole Schritt  $\rm (B)$  von Beginn an:   Das bisher angenommene  $r$  war offensichtlich zu klein. Deshalb nun ein neuer Versuch mit größerem  $r$.
  

• Ist das neue  $r$  größer als die Korrekturfähigkeit  $t$  des Codes, so kann das aktuelle Empfangswort nicht decodiert werden. Beende den Decodierversuch mit einer  Fehlermeldung.
  
  

$\rm (C)$   $\text{Lokalisierung der }r \text{ Fehlerpositionen}$  ⇒   Detaillierte Beschreibung

• Erstelle das  Error Locator Polynom  ${\it \Lambda}(x)$  und finde dessen  $r$  Nullstellen in  ${\rm GF}(q) \hspace{-0.05cm}\setminus \hspace{-0.05cm} \{0\}$.
  

• Ein Fehler an der Stelle  $i$  liegt immer dann vor, wenn  ${\it \Lambda}(\alpha^{i}) = 0$  ist.
  
  

$\rm (D)$   $\text{Bestimmung der }r \text{ Fehlerwerte und Korrektur}$  ⇒   Detaillierte Beschreibung

• Bekannt sind nun die  $r$  Fehlerstellen. Ersetzt man im Empfangsvektor  $\underline{y}$  die falschen Symbole durch Auslöschungen   ⇒   $y_i = \rm E$, falls  $e_i ≠ 0$, so findet man das Ergebnis  $\underline{y}$  entsprechend dem Kapitel  Reed–Solomon–Decodierung beim Auslöschungskanal.
  

• Eine Alternative:   Aus der Gleichung  $\underline {e} \cdot \boldsymbol{\rm H }^{\rm T} = \underline {s}$  kommt man unter Ausnutzung der fehlerfreien Stellen  $(e_i = 0)$  zu einem linearen Gleichungssystem für die fehlerhaften Symbole  $(e_i \ne 0)$.
  
  

Schritt (A): Auswertung des Syndroms beim BDD

Wie im Abschnitt  Prinzip der Syndromdecodierung  gezeigt wurde, kann zur Decodierung eines linearen Codes das Syndrom  $\underline{s}$  herangezogen werden.

Mit dem Empfangswort  $\underline{y}$  gleich Codewort  $\underline{c}$  plus Fehlervektor  $\underline{e}$  gilt:

\[\underline {s} = \underline {y} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= \underline {c} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}+ \underline {e} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T} \hspace{0.05cm}.\]

Da stets  $\underline {c} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T} =\underline {0}$  gilt, folgt aus  $\underline{s}= \underline{0}$  auch  $\underline {e} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T} =\underline {0}$.   Das heißt:

• Mit sehr großer Wahrscheinlichkeit kann aus  $\underline{s}= \underline{0}$  auch auf  $\underline{e}= \underline{0}$  und damit auch auf das richtige Decodierergebnis  $\underline{z}= \underline{y}$  geschlossen werden. Der Decodiervorgang wäre damit abgeschlossen.
  

• Es gibt aber auch Fehlermuster  $\underline{e} \ne \underline{0}$, die zum Syndrom  $\underline{s}= \underline{0}$  führen. Solche Muster beinhalten sicher mehr als  $t$  Symbolfehler, so dass auch hier der Abbruch des Decodiervorgangs sinnvoll ist. Alle nachfolgenden Berechnungen würden auch nicht zum Erfolg führen.
  
  

$\rm GF(2^3)$–Darstellungen

$\text{Beispiel 2:}$  Diesem und den folgenden Beispielen auf den nächsten Seiten liegt stets der Reed–Solomon–Code  $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$  zugrunde, so dass die in der Grafik angegebenen Umrechnungen in  $\rm GF(2^3)$  genutzt werden können. Das Empfangswort lautet:

\[\underline{y}=\big (\alpha^3,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm} \alpha^2, \hspace{0.05cm} \alpha^5, \hspace{0.05cm} \alpha^5 \big).\]

Mit der  Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H }$  ergibt sich für das Syndrom:

\[\underline {s} = \underline {y} \cdot { \boldsymbol{\rm H } }^{\rm T}= \begin{pmatrix} \alpha^3, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm}\alpha^2, \hspace{0.05cm}\alpha^5, \hspace{0.05cm}\alpha^5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 \\ \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 \\ \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^5 \\ \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 \\ \alpha^5 & \alpha^3 & \alpha^1 & \alpha^6 \\ \alpha^6 & \alpha^5 & \alpha^4 & \alpha^3 \end{pmatrix}. \]

Diese Vektor–Matrix–Multiplikationen liefert das Ergebnis:

\[\underline {s} \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} (\alpha^3 , \alpha^3 , \alpha^3 , \alpha^3) + (\alpha^1 , \alpha^2 , \alpha^3 , \alpha^4) + (0,0,0,0) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} (\alpha^4,1,\alpha^3,\alpha^6)+(\alpha^6,\alpha^3,1,\alpha^4)\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}(\alpha^3,\alpha^1,\alpha^6,\alpha^4) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} (\alpha^4,\alpha^3,\alpha^2,\alpha^1)\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline {s} = \text{...} \hspace{0.05cm}= (\alpha^5,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^1) \hspace{0.05cm}.\]

Das Empfangswort wurde also verfälscht.   Andernfalls hätte sich  $\underline{e}= \underline{0} = (0, 0, 0, 0)$  ergeben müssen.

Die Beschreibung des Decodiervorgangs beim  $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$  wird im  $\text{Beispiel 4}$  fortgesetzt.

Error Locator Polynom – Definition und Eigenschaften

Nach der Syndromberechnung im Schritt  $\rm (A)$  mit dem Ergebnis  $\underline{s} \ne \underline{0}$  wissen wir,

• dass das Empfangswort  $\underline{y}$  nicht mit dem Codewort  $\underline{c}$  übereinstimmt, bzw.
  

• dass der Fehlervektor  $\underline{e} = (e_0, \hspace{0.05cm}e_1, \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} , e_{n-1})$  mit Sicherheit auch Elemente ungleich  $0$  beinhaltet.
  
  

Wir wissen allerdings nicht, wie viele Symbole verfälscht wurden  $(0 < r ≤ n)$  und wir können auch nicht die Positionen der Fehlerstellen  $(e_i ≠ 0)$  im Fehlervektor  $\underline{c}$  benennen.

Einen Lösungsansatz für diese Aufgabe bietet das so genannte  Error Locator Polynom, das von  William Wesley Peterson  eingeführt wurde   ⇒   siehe [Pet60]. Im Deutschen ist hierfür auch der Begriff "Schlüsselgleichung" üblich.

$\text{Definition:}$  Es sei bekannt, dass genau  $r$  Elemente des Fehlervektors  $\underline{e}$  ungleich Null sind, erkennbar am  Hamming–Gewicht  $w_{\rm H}(\underline{e}) = r$.

• Ebenfalls bekannt sei die Menge  ${I}_{\rm FP}$  der Fehlerpositionen:

\[I_{\rm FP} = \{ i \hspace{0.1cm}\vert \hspace{0.1cm} e_i \ne 0,\hspace{0.1cm} 0 \le i < n \}\hspace{0.05cm}.\]

• Dann gilt für das  Error Locator Polynom  $\rm (ELP)$:

\[{\it \Lambda}(x)=x \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP} }(x-\alpha^i) =x \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ].\]

Vom Error Locator Polynom  wissen wir aufgrund der Definition:

• Wegen des Faktors  $x$  vor dem Produktzeichen ist  ${\it \Lambda}(x= 0) = 0$.
  

• Weitere  $r$  Nullstellen ergeben sich für  $x = \alpha^{i}$  mit  $i \in I_{\rm FP}$, das heißt, für alle Fehlerpositionen.
  

• Dagegen ergibt das  Error Locator Polynom  für  $i ∉ I_{\rm FP}$   ⇒   $e_i = 0$  keine Nullstelle:   ${\it \Lambda}(x= \alpha^{i}) \ne0$.
  
  

Wir suchen also die  $r$  nichttrivialen Nullstellen von  ${\it \Lambda}(x)$  mit dem Argument  $x ∈ {\rm GF}(q) \hspace{-0.05cm}\setminus \hspace{-0.05cm} \{0\}$. Gelingt uns dies, so kennen wir die  $r$  Fehlerpositionen, jedoch noch nicht die tatsächlichen Fehlerwerte  $e_i ∈ {\rm GF}(q)$.

$\rm GF(2^3)$–Darstellungen

$\text{Beispiel 3:}$  Es gelte $n=7$   ⇒   $q=8$,  $r=2$  und  $I_{\rm FP} = \{2, \hspace{0.05cm}4\}$:        

Damit erhält man für das  Error Locator Poynom  aus  ${\rm GF}(2^3)$:

\[{\it \Lambda}(x)=x \cdot (x\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\alpha^2) \cdot (x\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\alpha^4)= x \cdot (x\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}\alpha^2) \cdot (x\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}\alpha^4) =x \cdot \big [x^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}(\alpha^2 + \alpha^4) \cdot x + \alpha^6\big ] \]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Lambda}(x)= x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot x + x^2\big ]\hspace{0.05cm}.\]

Die weiteren Nullstellen $($außer bei  $x = 0)$  ergeben sich hier natürlich für  $x = \alpha^2$  und  $x = \alpha^4$, wie eine Kontrollrechnung zeigt:

\[{\it \Lambda}(x = \alpha^2)= x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot \alpha^2 + (\alpha^2)^2\big ] = x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha^3 + \alpha^4 \big ]= 0\hspace{0.05cm},\]

\[ {\it \Lambda}(x = \alpha^4)= x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha \cdot \alpha^4 + (\alpha^4)^2\big ] =x \cdot \big [\alpha^6 + \alpha^5 + \alpha \big ]= 0\hspace{0.05cm}.\]

Für die weitere Herleitung gehen wir stets vom  $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$  mit den folgenden Parameterwerten aus:

$$n=7, \hspace{0.3cm}k = 3, \hspace{0.3cm}d_{\rm min} = 5 \ \Rightarrow \ t = (d_{\rm min} -1/2) = 2.$$

Die Anzahl der Symbolfehler sei  $r = t = 2$. Damit lautet das zu lösende Gleichungssystem mit den Hilfsgrößen  $L_i = {\it \Lambda}(\alpha^{i})$:

\[L_0 = {\it \Lambda }(\alpha^0) = \alpha^0 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^0)^1 + (\alpha^0)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot 1 + {\it \lambda}_1 \cdot 1 + 1 \hspace{0.05cm},\]

\[L_1 = {\it \Lambda }(\alpha^1) =\alpha^1 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^1)^1 + (\alpha^1)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot \alpha^1+ {\it \lambda}_1 \cdot \alpha^2 + \alpha^3 \hspace{0.05cm},\]

\[...\]

\[ L_6 = {\it \Lambda }(\alpha^6) = \alpha^6 \cdot \left [ {\it \lambda}_0 + {\it \lambda}_1 \cdot (\alpha^6)^1 + (\alpha^6)^2 \right ] = {\it \lambda}_0 \cdot \alpha^6 + {\it \lambda}_1 \cdot \alpha^{12} + \alpha^{18} \hspace{0.05cm}.\]

In Vektorform lautet dieses Gleichungssystem mit dem Hilfsvektor  $\underline{L} = (L_0, \hspace{0.05cm}L_1, \hspace{0.05cm}L_2,\hspace{0.05cm}L_3,\hspace{0.05cm}L_4,\hspace{0.05cm}L_5,\hspace{0.05cm}L_6)$:

\[\underline {L}^{\rm T}=\begin{pmatrix} L_0\\ L_1\\ L_2\\ L_3\\ L_4\\ L_5\\ L_6 \end{pmatrix} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 \\ \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 \\ \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^9 \\ \alpha^4 & \alpha^8 & \alpha^{12}\\ \alpha^5 & \alpha^{10} & \alpha^{15}\\ \alpha^6 & \alpha^{12} & \alpha^{18} \end{pmatrix} \hspace{0.15cm}\cdot \hspace{0.15cm} \begin{pmatrix} {\lambda}_0\\ {\lambda}_1\\ 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.\]

Wir erweitern nun den ELP–Koeffizientenvektor  $\underline {\it \Lambda }$  durch Anhängen von Nullen auf die Länge  $n-k$.

Im betrachteten Beispiel erhält man somit  ${\it \Lambda } = ( \lambda_0,\hspace{0.05cm}\lambda_1,\hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}0)$  und folgende Vektorgleichung:

\[\underline {L}^{\rm T} \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\ \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^8\\ \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^9 & \alpha^{12}\\ \alpha^4 & \alpha^8 & \alpha^{12} & \alpha^{16}\\ \alpha^5 & \alpha^{10} & \alpha^{15} & \alpha^{20}\\ \alpha^6 & \alpha^{12} & \alpha^{18} & \alpha^{24} \end{pmatrix} \hspace{0.15cm}\cdot \hspace{0.15cm} \begin{pmatrix} {\lambda}_0\\ {\lambda}_1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.\]

Damit haben wir erreicht:

• Aus der  $7× 3$–Matrix wurde nun eine  $7× 4$–Matrix.
• Die vierte Spalte kann eigentlich beliebig gefüllt werden, da alle Elemente mit Nullen multipliziert werden.
• Durch die hier gewählte Ergänzung erhält man die transponierte  Prüfmatrix  des  $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$.
• Somit kann man für die letzte Vektorgleichung schreiben:

\[\underline {L}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T} \cdot \underline {\it \Lambda }^{\rm T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline {L} = \underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H }} \hspace{0.05cm}.\]

Da aber für die Fehlerstellen  $(e_i ≠ 0)$  stets  $L_i = {\it \Lambda}(\alpha^{i}) = 0$  gilt, ist das Produkt  $L_i \cdot e_i \equiv 0$  und man erhält als Bestimmungsgleichung für die Nullstellen des Error Locator Polynoms:

\[\underline {L}^{\rm T} \cdot \underline {e}^{\rm T} = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H }} \cdot \underline {e}^{\rm T} = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline {\it \Lambda } \cdot \underline {s}^{\rm T} = 0 \hspace{0.05cm}.\]

$\text{Wichtiges Zwischenergebnis:}$ 

Die nichttrivialen Nullstellen  $($ungleich $0)$  $\lambda_0$, $\lambda_1$, ... des Error Locator Polynoms  ${\it \Lambda}(x)$  müssen stets der Vektorgleichung  $\underline {\it \Lambda } \cdot \underline {s}^{\rm T} = 0 $  genügen.

• Hierbei bezeichnet  $\underline {\it \Lambda }$  den  $\rm ELP-Koeffizientenvektor$.
• $\underline {s } = \underline {y }\cdot \boldsymbol{\rm H }^{\rm T} $  gibt das  Syndrom  an.

Schritt (B): Aufstellen/Auswerten des ELP–Koeffizientenvektors

Bevor wir dieses Zwischenergebnis für den Schritt  $\rm (B)$  berücksichtigen können, müssen noch einige Verallgemeinerungen vorgenommen werden. Der Grund hierfür ist:

• Die Gleichung  $\underline {\it \Lambda } \cdot \underline {s}^{\rm T} = 0 $  liefert nur eine einzige Bestimmungsgleichung. Damit kann das Problem für  $r = 1$  gelöst werden, wenn man sicher ist, dass tatsächlich nur ein einziges Symbol verfälscht wurde.
  

• Ist man sich dessen nicht sicher, führt aber die Berechnung trotzdem für  $r = 1$  durch, so braucht man noch eine zweite Gleichung (oder auch mehrere), um die Annahme zu verifizieren.
  
  

Die Eigenschaft des  Error Locator Polynoms, dass  ${\it \Lambda}(\alpha^{i})$  nur für  $e_i ≠ 0$  $(i$–tes Symbol verfälscht$)$ gleich Null ist, bleibt erhalten, wenn man  ${\it \Lambda}(x)$  mit beliebigen Potenzen von  $x$  multipliziert. Jede Multiplikation mit  $x$  bedeutet für den ELP–Koeffizientenvektor eine Verschiebung um eine Stelle nach rechts.

Verschobene ELP–Koeffizientenvektoren

$\text{Definition:}$  Die  $\text{verallgemeinerten ELP–Koeffizientenvektoren}$  $\underline {\it \Lambda }_l$  ergeben sich durch sukzessive Verschiebungen gegenüber  $\underline {\it \Lambda }_l$:

\[{\it \Lambda}_l(x)=x^l \cdot \prod_{i\hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} I_{\rm FP} }(x-\alpha^i) =x^l \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+\ldots+{\it \lambda}_{r-1} \cdot x^{r-1}+x^r \big ]\hspace{0.05cm}.\]

In dieser Definitionsgleichung entspricht  $\underline {\it \Lambda }_1$  dem bisherigen  $\underline {\it \Lambda }$.

Die Grafik zeigt die Belegung unter der Annahme von  $r$  Fehlerstellen im Fehlervektor  $\underline {e}$  für

• $r=1$   im linken Bereich (mit blauer Hinterlegung),
• $r=2$   im mittleren Bereich (mit roter Hinterlegung),
• $r=3$   im rechten Bereich (mit grüner Hinterlegung).

Man erkennt:

• Die Länge aller  $\underline {\it \Lambda }_l$  ist stets  $n-k$. Jeder Vektor beinhaltet jeweils  $r$  Koeffizienten  $\lambda_0$,  $\lambda_1$, ... ,  $\lambda_{r-1}$   ⇒   $0 ≤ i < r$  und eine Eins. Der Rest eines jeden Vektors ist mit Nullen aufgefüllt.
  

• Für jedes  $r$  gibt es genau  $n-k-r$  Koeffizientenvektoren  $\underline {\it \Lambda }_l$, wobei sich  $\underline {\it \Lambda }_l$  aus  $\underline {\it \Lambda }_{l-1}$  stets durch Rechtsverschiebung um eine Position ergibt. Der Vektor  $\underline {\it \Lambda }_{n-k-r}$  endet immer mit einer  $1$.
  

• Das Gleichungssystem  $\underline {\it \Lambda }_l \cdot \underline {s}^{\rm T} = 0 $  führt deshalb zu  $n-k-r$  Gleichungen. Der gewählte Ansatz für  $r$  ist nur dann richtig, wenn alle Gleichungen zu den gleichen Ergebnissen für  $\lambda_0$, ... , $\lambda_{r-1}$  führen.
  

• Ist dies nicht der Fall, so muss man  $r$  erhöhen und damit ein neues Gleichungssystem bearbeiten, und zwar solange, bis sich aus allen Gleichungen für das aktuelle  $r$  eine eindeutige Lösung ergibt.
  

• Ist schließlich  $r$  größer als die Korrekturfähigkeit  $t$  des Codes, so kann die Berechnung beendet werden. Das anstehende Empfangswort  $\underline {y}$  ist dann nicht decodierbar.
  

$\text{Beispiel 4:}$  Es gelten weiterhin die im  $\text{Beispiel 2}$  genannten Voraussetzungen:

• Dort wurde aufgrund des Syndroms  $\underline {s} = (\alpha^5,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^1) ≠ \underline {0}$  auch nachgewiesen, dass der Empfangsvektor  $\underline {y}$  verfälscht wurde   ⇒   Fehlervektor  $\underline {e} \ne \underline {0}$.
• Nicht bekannt ist allerdings die tatsächliche Symbolfehleranzahl  $r$.
  

Unter der Annahme eines einzigen falschen Symbols  $(r= 1)$  erhält man folgendes Gleichungssystem (hier in Matrixform geschrieben):

$\rm GF(2^3)$–Darstellungen

\[\big ({ \boldsymbol{\it \Lambda } }_l \big) \cdot \underline {s} ^{\rm T}= \begin{pmatrix} \lambda_0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha^5\\ \alpha^2\\ \alpha^3\\ \alpha \end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.\]

Dieses Gleichungssystem liefert drei unterschiedliche Lösungen für  $\lambda_0$, was nicht zielführend ist:

\[\text{Zeile 1:}\hspace{0.5cm}\alpha^5 \cdot \lambda_0 + \alpha^2 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_0 = \alpha^{2-5}= \alpha^{-3}= \alpha^{4}\hspace{0.05cm},\]

\[\text{Zeile 2:}\hspace{0.5cm}\alpha^2 \cdot \lambda_0 + \alpha^3 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_0 = \alpha^{3-2}= \alpha\hspace{0.05cm},\]

\[\text{Zeile 3:}\hspace{0.5cm}\alpha^3 \cdot \lambda_0 + \alpha^1 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_0 = \alpha^{1-3}= \alpha^{-2} = \alpha^{5} \hspace{0.05cm}.\]

Deshalb stellen wir nun ein weiteres Gleichungssystem auf, und zwar unter der Annahme  $r = 2$:

\[\big ({ \boldsymbol{\it \Lambda } }_l \big) \cdot \underline {s} ^{\rm T}= \begin{pmatrix} \lambda_0 & \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & \lambda_1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha^5\\ \alpha^2\\ \alpha^3\\ \alpha \end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. \]

Dies führt zu zwei Gleichungen für  $\lambda_0$  und  $\lambda_1$:

\[\alpha^5 \cdot \lambda_0 + \alpha^2 \cdot \lambda_1 + \alpha^3 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\alpha^2 \cdot \lambda_0 + \alpha^3 \cdot \lambda_1 + \alpha^1 = 0 \hspace{0.05cm}.\]

Dieses Gleichungssystem ist nun eindeutig lösbar. Man erhält  $\lambda_0 = \alpha^2$  und  $\lambda_1 = \alpha^6$. Das bedeutet:

• Die Annahme, dass tatsächlich  $r = 2$  Positionen des Empfangsvektors  $\underline {y}$  verfälscht wurden, ist richtig.
  
• Man weiß aber noch nicht, welche Positionen verfälscht wurden.   Soviel vorneweg:
• Es sind nicht die Symbolpositionen 2 und 6, sondern die Positionen 0 und 2, wie im folgenden  $\text{Beispiel 5}$  (nächste Seite) gezeigt wird.

Schritt (C): Lokalisierung der Fehlerstellen

Nach Abarbeitung von Schritt  $\rm(B)$  sind bekannt:

• die Anzahl  $r$  der Fehlerstellen  $e_i ≠ 0$  im Vektor  $\underline {e} = (e_0, \hspace{0.05cm}\text{... }\hspace{0.05cm}, e_i, \hspace{0.05cm}\text{... }\hspace{0.05cm}, e_{n-1})$,
  

• die Koeffizienten  $\lambda_0, \hspace{0.05cm}\text{... }\hspace{0.05cm} , \lambda_{r-1}$  des Error Locator Polynoms.
  
  

Zu bestimmen ist nun noch die Menge der Fehlerpositionen:   $I_{\rm FP} = \{ i \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm} e_i \ne 0,\hspace{0.1cm} 0 \le i < n \}\hspace{0.05cm}.$

Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten (beide Verfahren werden im folgenden Beispiel angewendet):

• die so genannte Chien–Suche, in dem man durch Einsetzen der möglichen Codesymbole außer dem Nullsymbol   ⇒   $(\alpha^0, \text{... }, \alpha^i, \text{... },\alpha^{n-1})$  in das Error Locator Polynom  dessen Nullstellen ermittelt,
  

• die Auswertung der Gleichung  $\underline {L} = (L_0, \text{... }, L_i, \text{... },L_{n-1} ) = \underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H }}$  mit der Abkürzung  $L_i = {\it \Lambda}(\alpha^i)$.
  
  

$\rm GF(2^3)$–Darstellungen

$\text{Beispiel 5:}$  Im  $\text{Beispiel 4}$  wurde entsprechend den in  $\text{Beispiel 2}$  genannten Randbedingungen ermittelt, dass

• $r= 2$  Symbolfehler vorliegen, und
• die ELP–Koeffizienten  $\lambda_0 = \alpha^2$  und  $\lambda_1 = \alpha^6$  lauten.

Damit ergibt sich folgendes Error Locator Polynom:

\[{\it \Lambda}(x)=x \cdot \big [{\it \lambda}_0 + \lambda_1 \cdot x+x^2 \big ] =x \cdot \big [\alpha^2 + \alpha^6 \cdot x+x^2 \big ]\hspace{0.05cm}.\]

Entsprechend der Chien–Suche erhält man

\[{\it \Lambda}(\alpha^0)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^0 \cdot \big [ \alpha^2 + \alpha^6 \cdot 1 + 1 \big ] = \alpha^2 + (\alpha^2 + 1) + 1 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm Nullstelle} }\hspace{0.05cm},\]

\[{\it \Lambda}(\alpha^1)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^1 \cdot \big [\alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^1 + \alpha^2\big ]= \alpha^1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Keine\hspace{0.15cm} Nullstelle}\hspace{0.05cm},\]

\[{\it \Lambda}(\alpha^2)\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm}\alpha^2 \cdot \big [ \alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^2 + \alpha^4 \big ] =\alpha^4 + \alpha^{10} + \alpha^6 = \text{...} = \hspace{0.15cm}0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm Nullstelle} }\hspace{0.05cm}.\]

Damit sind die beiden Fehlerpositionen mit  $i = 0$  und  $i = 2$  gefunden   ⇒   der Fehlervektor lautet:   $\underline {e} = (e_0, 0, e_2, 0, 0, 0, 0)$ .

Die Vektorgleichung  $\underline {L} = \underline {\it \Lambda } \cdot { \boldsymbol{\rm H } }$  liefert das gleiche Ergebnis in kompakterer Form:

\[\underline {L} = \underline{\it \Lambda} \cdot { \boldsymbol{\rm H } } = (\alpha^2, \alpha^6, 1, 0) \cdot \begin{pmatrix} 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^3 & \alpha^5 \\ 1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^3 & \alpha^5 & \alpha^1 & \alpha^4 \\ 1 & \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^6 & \alpha^3 \end{pmatrix} \]

\[ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline {L} = (\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4,\alpha^5,\alpha^6,1 ,\alpha^1) + (\alpha^6,\alpha^1,\alpha^3,\alpha^5,1 ,\alpha^2,\alpha^4)+(1, \alpha^3,\alpha^6,\alpha^3,\alpha^5,\alpha^1,\alpha^4) \]

\[ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline {L} = (0,\alpha^1,0,\alpha^3,\alpha^3,\alpha^5,\alpha^1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} L_0 = L_2 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline {e} = (e_0, 0, e_2, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.05cm}.\]

Das Beispiel wird mit dem  $\text{Beispiel 6}$  auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Schritt (D): Abschließende Fehlerkorrektur

Im letzten Schritt müssen nun nur noch die  $r$  Symbolfehler korrigiert werden, deren Positionen nach Beendigung von Schritt  $\rm (C)$  bekannt sind:

• Markiert man die Fehlerpositionen im Empfangswort  $\underline {y}$  als Auslöschungen  $\rm E$  (Erasures ), so kann das zugehörige Codewort  $\underline {z}$  entsprechend der Beschreibung im Kapitel  Reed–Solomon–Decodierung beim Auslöschungskanal  gefunden werden.
  

• Eine zweite Möglichkeit bietet die Bestimmung des Fehlervektors  $\underline {e}$  aus der Gleichung  $\underline {e} \cdot \boldsymbol{\rm H }^{\rm T} = \underline {s}$  und die Korrektur entsprechend  $\underline {z} = \underline {y} - \underline {e} $. Dieses Verfahren liegt dem folgenden Beispiel zugrunde.
  
  

$\rm GF(2^3)$–Darstellungen

$\text{Beispiel 6:}$  Wir betrachten wieder den  $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$. Im  $\text{Beispiel 2}$  wurde

• das Empfangswort mit  $\underline{y}=\big (\alpha^3,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm}\alpha^1, \hspace{0.05cm} \alpha^2, \hspace{0.05cm} \alpha^5, \hspace{0.05cm} \alpha^5 \big)$  vorgegeben, und
• daraus das Syndrom  $\underline{s}=\big (\alpha^5,\hspace{0.05cm}\alpha^2, \hspace{0.05cm} \alpha^3, \hspace{0.05cm} \alpha^1\big)$  ermittelt.

Nach den Berechnungen im  $\text{Beispiel 5}$  lautet der Fehlervektor  $\underline {e} = (e_0, 0, e_2, 0, 0, 0, 0)$.

Aus  $\underline {e} \cdot \boldsymbol{\rm H }^{\rm T} = \underline {s}$  erhält man nun folgende Bestimmungsgleichungen für die Fehlerwerte  $e_0$  und  $e_2$:

\[\underline {e} \cdot \boldsymbol{\rm H }^{\rm T}= \begin{pmatrix} e_0 & 0 & e_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4\\ \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1\\ \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5}\\ \alpha^4 & \alpha^1 & \alpha^{5} & \alpha^{2}\\ \alpha^5 & \alpha^{3} & \alpha^{1} & \alpha^{6}\\ \alpha^6 & \alpha^{5} & \alpha^{4} & \alpha^{3} \end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \underline {s} = \begin{pmatrix} \alpha^5 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^1 \end{pmatrix} \]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm}e_0 \cdot (1, 1, 1, 1) + e_2 \cdot ( \alpha^2, \alpha^4, \alpha^6, \alpha^1)\stackrel{!}{=} ( \alpha^5, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^1)\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} e_0 + e_2 \cdot \alpha^2 = \alpha^5\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e_0 + e_2 \cdot \alpha^4 = \alpha^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e_0 + e_2 \cdot \alpha^6 = \alpha^3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e_0 + e_2 \cdot \alpha^1 = \alpha^1\hspace{0.05cm}.\]

Alle Gleichungen führen zum Ergebnis  $e_0 = 1$  und  $e_2 =\alpha^2$.

Damit lautet das korrigierte Codewort mit  $\underline {y} = (\alpha^3,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \alpha^1,\hspace{0.05cm} \alpha^2,\hspace{0.05cm} \alpha^5,\hspace{0.05cm} \alpha^5)$  und  $\underline {e}= (1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \alpha^2,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0)$:

\[\underline {z} = \underline {y} - \underline {e} = \underline {y} + \underline {e}= (\alpha^1,\hspace{0.03cm} 1,\hspace{0.03cm} \alpha^2,\hspace{0.03cm} \alpha^1,\hspace{0.03cm} \alpha^2,\hspace{0.03cm} \alpha^5,\hspace{0.03cm} \alpha^5)\hspace{0.05cm}. \]

Dieses ist ein gültiges Codewort von  $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$.

Schnelle Reed–Solomon–Decodierung

Die Klasse der Reed–Solomon–Codes wurde bereits im Jahre 1960 durch die Veröffentlichung  [RS60] eingeführt. Ihre effiziente Decodierung war jedoch erst ein bis zwei Jahrzehnte später möglich.

Auf den letzten Seiten haben wir den so genannten Petersen–Algorithmus inklusive der Chien–Suche am Beispiel des  $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$  demonstriert, der bis zu  $t = 2$  Fehler korrigieren kann. Im Mittelpunkt des Decodiervorgangs stand dabei das Aufstellen und Lösen der Schlüsselgleichung (englisch:   Error Locator Polynom ), wobei die Nullstellen eines Grad–$2$–Polynoms im Körper  $\rm GF(7)$  gefunden werden mussten. Es war zu erkennen, dass schon diese algebraische Decodierung mit großem Aufwand verbunden ist.

Bei den in Praxis eingesetzten Codes mit großer Codewortlänge  $n$  und hoher Korrekturfähigkeit  $t$  würde der Decodieraufwand explodieren, wenn nicht schnellere Decodieralgorithmen gefunden worden wären. So müssen beim Reed–Solomon–Code  $\text{RSC (255, 223, 33)}_{256}$, der schon früh im ESA/NASA–Standard zur Satellitenübertragung genannt wurde, zur Decodierng eines einzigen Codewortes bis zu  $t = 16$  Nullstellen im Körper  $\rm GF(255)$  gefunden werden. Und das in Echtzeit!

Ab Ende der 1960er Jahre haben sich viele Wissenschaftler um schnellere Decodieralgorithmen für Reed–Solomon–Codes bemüht:

• Beim  Berlekamp–Massey–Algorithmus  $\rm (BMA)$  wird die Schlüsselgleichung  $\underline {\it \Lambda} \cdot \underline{s }^{\rm T} = 0$  als rückgekoppeltes Schieberegister dargestellt, siehe zum Beispiel  [Mas69],  [Fri96] und  [Bos98]. Das Problem wird damit auf die Synthese eines autoregressiven Filters zurückgeführt. Dieser Algorithmus arbeitet wesentlich schneller als der (leichter durchschaubare) Petersen–Algorithmus.
  

• Etwas später wurde in  [SK+75]  ein Decodierverfahren vorgeschlagen, das auf dem  Euklidischen Algorithmus  basiert. Dieser liefert den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen, was zur Decodierung genutzt wird. Der Euklidische Algorithmus ist vergleichbar schnell wie der  $\rm BMA$. Genauere Informationen finden Sie wieder in  [Bos98] und  [Fri96].
  

• Weitere effiziente Decodiermethoden von Reed–Solomon–Codes arbeiten im Frequenzbereich  unter Verwendung der  Diskreten Fouriertransformation  $\rm (DFT)$  im Körper  ${\rm GF}(n)$.
  
  

Die Grundzüge der Reed–Solomon–Fehlerkorrektur wurden bereits in den 1960er Jahren entwickelt. Aber bis in die heutige Zeit (2013) ist die (möglichst schnelle) algebraische Decodierung dieser Codes ein hochaktuelles Forschungsgebiet.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.12: Decodierung beim RSC (7, 4, 4) zur Basis 8

Aufgabe 2.12Z: Reed–Solomon–Syndromberechnung

Aufgabe 2.13: Decodierung beim RSC (7, 3, 5) zur Basis 8

Aufgabe 2.14: Petersen–Algorithmus