Quality Criteria

Ideales und verzerrungsfreies System

In allen nachfolgenden Kapiteln wird stets von folgendem Modell ausgegangen:

Blockschaltbild zur Beschreibung von Modulation und Demodulation

Die Aufgabe eines jeden Nachrichtenübertragungssystems besteht darin, an der räumlich entfernten Sinke ein Signal $υ(t)$ zur Verfügung zu stellen, das sich möglichst wenig vom Quellensignal $q(t)$ unterscheidet. Bei $υ(t) = q(t)$ würde man von einem idealen System sprechen.

In der Praxis werden sich die Signale $q(t)$ und $υ(t)$ stets unterscheiden, wofür es folgende Gründe gibt:

Nichtideale Realisierung von Modulator und Demodulator,
lineare Dämpfungs– und Phasenverzerrungen sowie Nichtlinearitäten,
externe Störungen und stochastische Rauschprozesse,
frequenzunabhängige Dämpfung und Laufzeit.

Ist nur die letztgenannte Einschränkung wirksam, so liegt ein verzerrungs– und rauschfreies System vor, und es gilt: $v(t) = \alpha \cdot q(t- \tau).$

Durch den Dämpfungsfaktor $α$ ist das Sinkensignal $υ(t)$ gegenüber dem Quellensignal $q(t)$ nur „leiser”. Auch eine Laufzeit $τ$ ist oft tolerabel, zumindest bei einer unidirektionalen Übertragung. Dagegen wird bei einer bidirektionalen Kommunikation – zum Beispiel einem Telefonat – schon eine Laufzeit von 300 Millisekunden als sehr störend empfunden.

Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis (1)

Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal $υ(t)$ auch gegenüber $α · q(t – τ)$ unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal: $\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) + \varepsilon_{\rm St} (t).$

Dieses setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:

den linearen und nichtlinearen Verzerrungen $ε_{\rm V}(t)$ , die durch Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden können und deterministisches Verhalten zeigen,
der stochastischen Komponente $ε_{\rm St}(t)$ , die von der HF–Störung $n(t)$ am Demodulatoreingang herrührt. Im Gegensatz zu $n(t)$ handelt es sich bei $ε_{\rm St}(t)$ um eine niederfrequente Störung.

Als Maß für die Qualität des Nachrichtensystems wird das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis $ρ_υ$ an der Sinke als Quotient der Leistungen (Varianzen) von Nutzanteil $υ(t) – ε(t)$ und Störanteil $ε(t)$ definiert: $P_{v -\varepsilon} = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int\limits_{0}^{ T_{\rm M}} {[v(t)-\varepsilon(t)]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$ $P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon^2(t)} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int\limits_{0}^{ T_{\rm M}} {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t$ $\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rho_{v} = \frac{ P_{v -\varepsilon}}{P_{\varepsilon}} \hspace{0.05cm}.$

Für die Leistung des Nutzanteils erhält man unabhängig von der Laufzeit $τ$ : $P_{v -\varepsilon} = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \overline{\alpha^2 \cdot q^2(t - \tau)}= \alpha^2 \cdot P_{q}.$ Hierbei bezeichnet $P_q$ die Leistung des Quellensignals $q(t)$ : $P_{q} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int\limits_{0}^{ T_{\rm M}} {q^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$ Damit erhält man: $\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q}}{P_{\varepsilon}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot P_{q}}{P_{\varepsilon}} \hspace{0.05cm}.$ Im Folgenden bezeichnen wir $ρ_υ$ kurz als das Sinken–SNR (Signal–to–Noise–Ratio) und 10 · lg $ρ_υ$ als den Sinken–Störabstand, der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus (lg) in dB angegeben wird.