Nonlinear Distortions

Properties of Nonlinear Systems

The system description by means of the frequency response $H(f)$ and/or impulse response $h(t)$ is only possible for a LTI–System . However, if the system also contains nonlinear components, as it is assumed for this chapter, no frequency response and no impulse response can be stated, and the model must be designed in a more general way.

Description of a nonlinear systems

Also in this nonlinear system we denote the signals at the input and output by $x(t)$ and $y(t)$ respectively, and the corresponding spectral functions by $X(f)$ and $Y(f)$.

An observer will note the following here:

The transmission characteristics are now also dependent on the amplitude of the input signal . If $x(t)$ results in the output signal $y(t)$, it can now no longer be concluded that the input signal $K · x(t)$ will always result in the signal $K · y(t)$ .
This also implies that the superposition principle is no longer applicable . Consequently, the result $x_1(t) + x_2(t) ⇒ y_1(t) + y_2(t)$ cannot be reasoned from the two correspondences $x_1(t) ⇒ y_1(t)$ and $x_2(t) ⇒ y_2(t)$ .
Due to nonlinearities new frequencies occur. If $x(t)$ is a harmonic oscillation with the frequency $f_0$, the output signal $y(t)$ also contains components at multiples of $f_0$. In communications engineering, these are referred to as harmonics.
In practice, an information signal usually contains many frequency components. The harmonics of the low-frequency signal components now fall into the range of higher-frequency useful components. This results in nonreversible signal falsifications.

Before mentioning ”constellations which result in nonlinear distortions” at the end of the section the problem of nonlinear distortions is captured mathematically.

We assume here that the system has no memory so that the output value $y = y(t_0)$ depends only on the instantaneous input value $x = x(t_0)$ ,
but not on the signal curve $x(t)$ for $t < t_0$.

Description of Nonlinear Systems

$\text{Definition:}$ A system is said to be nonlinear if the following relationship exists between the signal value $x = x(t)$ at the input and the output $y = y(t)$ : $$y = g(x) \ne {\rm const.} \cdot x.$$ The curve progression $y = g(x)$ is called the nonlinear characteristic curve of the system.

Nonlinear characteristic curve

In the diagram, as an example, the green curve is the nonlinear characteristic curve $y = g(x)$ which is shaped according to the first quarter of a sine function.
The special case of a linear system with the characteristic curve $y = x$ can be seen dashed in red.

Since every characteristic curve can be developed into a Taylor series around the operating point the output signal can also be represented as follows: $$y(t) = \sum_{i=0}^{\infty}\hspace{0.1cm} c_i \cdot x^{i}(t) = c_0 + c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^{2}(t) + c_3 \cdot x^{3}(t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$ If $x(t)$ has a unit – for exmple "Volt” –, then the coefficients of the Taylor series also have appropriate and different units:

$c_0$ with $\rm V$,
$c_1$ without units,
$c_2$ with $\rm 1/V$, etc.

In the above diagram the operating point is identical to the zero point and $c_0 = 0$ holds.

$\text{Example 1:}$ The properties of nonlinear systems listed on the first page of this section are illustrated here using the characteristic curve $y = g(x) = \sin(x)$ shown in the centre of the diagram.

Das Gleichsignal $x(t) = 0.5$ hat hier das konstante Ausgangssignal $y(t) = 0.479$ zur Folge.
Mit $x(t) = 1$ ergibt sich das Ausgangssignal zu $y(t) = 0.841 ≠ 2 · 0.479$.

Durch eine Verdopplung von $x(t)$ wird hier also nicht auch gleichzeitig $y(t)$ verdoppelt ⇒ das Superpositionsprinzip wird verletzt.

Auswirkungen einer nichtlinearen Kennlinie

Die äußeren Grafiken zeigen – jeweils in blau – cosinusförmige Eingangssignale $x(t)$ mit unterschiedlichen Amplituden $A$ und in rot die dazugehörigen verzerrten Ausgangssignale $y(t)$. Man erkennt die Zunahme der nichtlinearen Verzerrungen mit größer werdender Amplitude, die durch den auf der nächsten Seite definierten Klirrfaktor $K$ quantifiziert werden.

Das rechte obere Diagramm für $A = 1.5$ zeigt eindeutig, dass nun $y(t)$ nicht mehr cosinusförmig ist; die Halbwellen verlaufen runder als bei der Cosinusfunktion.
Aber auch für $A = 0.5$ und $A = 1.0$ weichen – wenn auch weniger stark – die Signale $y(t)$ aufgrund von Oberwellen von der Cosinusform ab. Das heißt, es entstehen neue Frequenzanteile bei Vielfachen der Cosinusfrequenz $f_0$.

Im rechten unteren Bild wird durch einen zusätzlichen Gleichanteil die Kennlinie nur einseitig betrieben. Man erkennt nun auch eine Unsymmetrie im Signal $y(t)$. Die untere Halbwelle verläuft spitzförmiger als die obere. Der Klirrfaktor beträgt hier $K \approx 22\%$.

Der Klirrfaktor

Zur Definition des Klirrfaktors

Zur quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen gehen wir von einem cosinusförmigen Eingangssignal $x(t)$ mit der Amplitude $A_x$ aus.

Das Ausgangssignal beinhaltet aufgrund der nichtlinearen Verzerrungen Oberwellen und es gilt allgemein: $$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) + A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}...$$

$\text{Definition:}$ Mit diesen Amplitudenwerten $A_i$ lautet die Gleichung für den Klirrfaktor:

$$K = \frac {\sqrt{A_2^2+ A_3^2+ A_4^2+ \hspace{0.05cm}\text{...} } }{A_1} = \sqrt{K_2^2+ K_3^2+K_4^2+ \hspace{0.05cm}\text{...} }.$$

In der zweiten Gleichung bezeichnet

$K_2 = A_2/A_1$ den Klirrfaktor zweiter Ordnung,
$K_3 = A_3/A_1$ den Klirrfaktor dritter Ordnung usw.

Ausdrücklich wird darauf hingewiesen, dass bei der Berechnung des Klirrfaktors die Amplitude $A_x$ des Eingangssignals nicht berücksichtigt wird. Auch ein entstehender Gleichanteil $A_0$ bleibt unberücksichtigt.

Im $\text{Beispiel 1}$ im letzten Abschnitt wurden die Klirrfaktoren mit Werten zwischen etwa $1\%$ und $20\%$ angegeben.

Diese Werte liegen schon deutlich über den Klirrfaktoren preisgünstiger Audioanlagen, für die $K < 0.1\%$ gilt.
Bei HiFi–Geräten wird auf die Linearität besonderer Wert gelegt und ein sehr kleiner Klirrfaktor schlägt sich auch im Preis nieder.

Ein Vergleich mit der Seite Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit lässt erkennen, dass für den Sonderfall eines cosinusförmigem Eingangssignals das dort definierte Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis gleich dem Kehrwert des Klirrfaktors zum Quadrat ist:

$$\rho_{\rm V} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V}} = \left(\frac{ A_{1}}{A_x} \right)^2 \cdot \frac{ {1}/{2} \cdot A_{x}^2}{{1}/{2} \cdot (A_{2}^2 + A_{3}^2 + A_{4}^2 + \hspace{0.05cm}...) } = \frac{1}{K^2}\hspace{0.05cm}.$$

Einfluss einer Nichtlinearität auf ein Cosinussignal

$\text{Beispiel 2:}$ Wir betrachten nun ein mittelwertbehaftetes Cosinussignal:

$$x(t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos (\omega_0 \cdot t).$$

$x(t)$ nimmt Werte zwischen $0$ und $1$ an und ist als blaue Kurve gezeichnet. Die Signalleistung ist

$$P_x = 1/4 + 1/8 = 0.375.$$

Gibt man dieses Signal auf eine Nichtlinearität mit der Kennlinie

$$y=g(x) = \sin(x) \approx x - {x^3}/{6} \hspace{0.05cm},$$

so lautet das Ausgangssignal:

$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos (\omega_0 \cdot t)+ A_2 \cdot \cos (2\omega_0 \cdot t)+ A_3 \cdot \cos (3\omega_0 \cdot t)\hspace{0.05cm},$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} A_0 = {86}/{192},\hspace{0.3cm}A_1 = {81}/{192},\hspace{0.3cm}A_2 = - {6}/{192},\hspace{0.3cm}A_3 = - {1}/{192}\hspace{0.05cm}.$$

Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten wurden die trigonometrischen Umformungen für $\cos^2(α)$ und $\cos^3(α)$ verwendet. Der Klirrfaktor ergibt sich damit zu

$$K = \frac {\sqrt{A_2^{\hspace{0.05cm}2} + A_3^{\hspace{0.05cm}2} } }{A_1}\approx 7.5\%\hspace{0.05cm}.$$

Man erkennt weiter, dass das rot skizzierte Signal $y(t)$ nahezu gleich dem grün gezeichneten Signal $α · x(t)$ mit $α = \sin(1) ≈ 5/6$ ist.

Definiert man das Fehlersignal $ε_1(t) = y(t) - α · x(t)$, so ergibt sich mit dessen Leistung

$$P_{\varepsilon 1} = \frac {(80-86)^2}{192^2} + \frac {6^2 + (-1)^2}{2 \cdot 192^2}\approx 1.48 \cdot 10^{-3}$$

für das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis:

$$\rho_{{\rm V} 1} = \frac {\alpha^2 \cdot P_x}{P_{\varepsilon 1} } = \frac {(5/6)^2 \cdot 0.375}{1.48 \cdot 10^{-3} }\approx 176 = {1}/{K^2}\hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ist das SNR deutlich geringer, wenn man den Dämpfungsfaktor $α$ nicht berücksichtigt, das heißt, wenn man vom Fehlersignal $ε_2 = y(t) - x(t)$ ausgeht:

$$P_{\varepsilon 2} = \frac {(86-96)^2}{192^2} + \frac {(81-96)^2 + 6^2 + (-1)^2}{2 \cdot 192^2}\approx 6.3 \cdot 10^{-3} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_{{\rm V} 2} = \frac { P_x}{P_{\varepsilon 2}}= \frac {0.375}{6.3 \cdot 10^{-3}} \approx 60 \hspace{0.05cm}.$$

Rauschklirrmessung

Ein großer Nachteil der Klirrfaktordefinition ist die damit einhergehende Festlegung auf cosinusförmige Testsignale, also auf realitätsferne Bedingungen.

Bei der so genannten Rauschklirrmessung modelliert man das zu übertragende Signal $x(t)$ durch weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_x(f)$.
Zusätzlich bringt man eine schmale Bandsperre $\rm (BS)$ mit Mittelfrequenz $f_{\rm M}$ und (sehr kleiner) Bandbreite $B_{\rm BS}$ in das System ein.

Prinzip der Rauschklirrmessung

Bei einem linearen System wäre das Ausgangsspektrum ${\it \Phi}_y(f)$ nicht breiter als $B_x$ und auch im Bereich um $f_{\rm M}$ gäbe es keine Anteile.

Diese ergeben sich allein durch Mischprodukte (Intermodulationsanteile) verschiedener Spektralanteile, also durch nichtlineare Verzerrungen.

Durch Variation der Mittenfrequenz $f_{\rm M}$ und Integration über alle diese kleinen Störanteile kann somit die Verzerrungsleistung ermittelt werden. Nähere Angaben zu dieser Methode findet man zum Beispiel in [Kam04]^[1].

Constellations which result in Nonlinear Distortions

Als Beispiel für das Auftreten nichtlinearer Verzerrungen bei analogen Nachrichtenübertragungssystemen sollen hier einige Konstellationen genannt werden, die zu solchen führen. Inhaltlich bedeutet dies einen Vorgriff auf das Buch Modulation Methods.

Allgemeines Blockschaltbild eines Nachrichtenübertragungssystems

Nichtlineare Verzerrungen des Sinkensignals $v(t)$ in Bezug zum Quellensignal $q(t)$ treten auf, wenn

es bereits auf dem Kanal – also bezüglich des Sendesignals $s(t)$ und des Empfangssignals $r(t)$ – zu nichtlinearen Verzerrungen kommt,
bei der Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (ZSB–AM) mit Modulationsgrad $m > 1$ ein Hüllkurvendemodulator verwendet wird,
bei ZSB–AM und Hüllkurvendemodulation ein linear verzerrender Kanal vorliegt und zwar auch bei einem Modulationsgrad $m < 1$,
man die Kombination Einseitenband–AM und Hüllkurvendemodulation verwendet (unabhängig vom Seitenband–zu–Träger–Verhältnis),
eine Winkelmodulation (Oberbegriff für Frequenz– und Phasenmodulation) angewandt wird und die zur Verfügung stehende Bandbreite nur endlich groß ist.