Non-Linear Digital Modulation

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Properties of nonlinear modulation methods

Die Gesamtheit aller Modulationsverfahren lassen sich alternativ wie folgt klassifizieren:

• Amplituden–, Phasen– und Frequenzmodulation,
• analoge und digitale Modulationsverfahren,
• lineare und nichtlineare Modulationsverfahren.

Hinsichtlich des letzten Unterscheidungsmerkmals soll gelten:

$\text{Definition:}$  Ein  lineares Modulationsverfahren  liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt.  Andernfalls spricht man von  nichtlinearer Modulation.

Am  start of the book  wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen und einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht, dass beim ersten ein analoges Quellensignal  $q(t)$  anliegt und beim zweiten ein Digitalsignal.  Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt.  Darauf wird im Folgenden genauer eingegangen.

Die folgende Grafik zeigt einige der Unterschiede hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen.

Analog and digital AM, PM and FM methods KORREKTUR

• Die  analog amplitude modulation  $\rm (AM)$  ist ein lineares Verfahren.  Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.

• Zwischen  analog phase modulation  $\rm (PM)$  und  analog frequency modulation  $\rm (FM)$  gibt es viele Gemeinsamkeiten   ⇒  gemeinsame Beschreibung als Winkelmodulation  $\rm (WM)$.  Die Ortskurve ist hier ein Kreisbogen.  Bei einer harmonischen Schwingung gibt es ein Linienspektrum  $S(f)$  bei Vielfachen der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$  um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.

• Die  digital amplitude modulation, die man entweder als  Amplitude Shift Keying  $\rm (ASK)$  oder als On–Off–Keying  $\rm (OOK)$  bezeichnet, ist ebenfalls linear.  Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten.

• Da sich die   binary phase modulation  $($Binary Phase Shift Keying,  $\rm BPSK)$  als  $\rm ASK$  mit bipolaren Amplitudenkoeffizienten darstellen lässt, ist diese ebenfalls linear.  Die Form des BPSK–Leistungsdichtespektrums wird wesentlich bestimmt durch das Betragsquadratspektrum  $|G_s(f)|^2$  des Sendegrundimpulses.

• Das bedeutet aber auch:  

1.   Die BPSK–Spektralfunktion ist im Gegensatz zur analogen Phasenmodulation einer harmonischen Schwingung (nur eine Frequenz!) kontinuierlich in  $f$.
2.   Würde man die BPSK als (analoge) Phasenmodulation mit digitalem Quellensignal  $q(t)$  betrachten, so müssten zur Berechnung von  ${\it Φ}_s(f)$  unendlich viele Bessel–Linienspektren miteinander gefaltet werden, wenn man  $Q(f)$  als unendliche Summe von Einzelfrequenzen darstellt.

• Da man die  quadrature amplitude modulation  mit vier Signalraumpunkten  $\rm (4–QAM)$  auch als Summe zweier zueinander orthogonaler,  quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschreiben kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar.  Gleiches gilt für die  higher level QAM methods  wie  $\rm 16–QAM$,   $\rm 64–QAM$, ...

• Ein höherstufiges  Phase Shift Keying, zum Beispiel die  $\rm 8–PSK$, ist nur in Sonderfällen linear, siehe [Klo01].  Die digitale Frequenzmodulation  $($Frequency Shift Keying,  $\rm FSK)$  ist stets nichtlinear.  Dieses Verfahren wird Im Folgenden beschrieben, wobei wir uns auf den binären Fall  $\rm (2-FSK)$  beschränken.

FSK – Frequency Shift Keying

Wir gehen hier aus

• vom Sendesignal der analogen Frequenzmodulation,

$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [\psi(t)\big ] \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \psi(t) = 2\pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t,$$

• dem rechteckförmigen Binärsignal mit  $a_ν ∈ \{+1, –1\}$   ⇒   bipolare Signalisierung:

$$q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T) \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} g_s(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} 0 < t < T\hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Fasst man die Amplitude  $A$  und die Modulatorkonstante  $K_{\rm FM}$  zum Frequenzhub  (Definition siehe unten)

$${\rm \Delta}f_{\rm A} = \frac{A \cdot K_{\rm FM}}{2 \pi}$$

zusammen, so lautet das  FSK–Sendesignal  im  $ν$–ten Zeitintervall:

$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$

Dieses lässt sich mit den beiden möglichen Signalfrequenzen

$$f_{\rm +1} = f_{\rm T} +{\rm \Delta}f_{\rm A} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = f_{\rm T} -{\rm \Delta}f_{\rm A}$$

auch in folgender Form schreiben:

$$s(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t ) \\ s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} a_{ \nu} = +1 \hspace{0.05cm}, \\ a_{ \nu} = -1\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

• Zu jedem Zeitpunkt tritt also stets nur eine der beiden Frequenzen  $f_{+1}$  und  $f_{–1}$  auf. 
• Die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  selbst kommt im Signal nicht vor.

$\text{Definition:}$  Der  Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  ist in gleicher Weise definiert wie bei der analogen Frequenzmodulation, nämlich als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  von der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Manchmal wird der Frequenzhub in der Literatur auch mit  $Δf$  bzw.  $F$  bezeichnet.

Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist in diesem Zusammenhang der "Modulationsindex", der ebenfalls bereits bei der analogen Frequenzmodulation als  $η = Δf_{\rm A}/f_{\rm N}$  definiert wurde.  Bei der FSK ist eine etwas andere Definition erforderlich, was hier durch einen anderen Kennbuchstaben berücksichtigt wird:   $η   ⇒   h$.

$\text{Definition:}$  Bei digitaler Frequenzmodulation (FSK) bezeichnet der  Modulationsindex   $h$  das Verhältnis aus dem Gesamtfrequenzhub und der Symbolrate  $1/T$:

$$h = \frac{2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{1/T} = 2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}\cdot T \hspace{0.05cm}.$$

Manchmal wird in der Fachliteratur  $h$  auch als  Phasenhub  bezeichnet.

Signalverläufe  $q(t)$,  $z(t)$  und  $s(t)$  bei binärer FSK

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt unten das FSK–Sendesignal  $s(t)$  für

• das oben skizzierte binäre Quellensignal  $q(t)$  mit Amplitudenwerten  $\pm A =\pm 1 \ \rm V$, und
• das darunter gezeichnete Trägersignal  $z(t)$  mit vier Schwingungen pro Symboldauer  $(f_{\rm T} · T = 4)$.

Zugrunde liegt der Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 2$.  Die beiden möglichen Frequenzen sind  $f_{\rm +1} = 5/T \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = 3/T \hspace{0.05cm}.$

Bei einem FSK–Übertragungssystem mit Bitrate  $1 \ {\rm Mbit/s} \ \ (T = 1 \ \rm µ s)$  müsste somit die folgende FM–Konstante verwendet werden:

$$K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{A } = \frac{2 \pi }{A \cdot T } \approx 6.28 \cdot 10^{6}\,\,{\rm V^{-1}s^{-1} }\hspace{0.05cm}.$$

Kohärente Demodulation der FSK

Die Grafik zeigt den bestmöglichen Demodulator für binäre FSK, der kohärent arbeitet und demzufolge auch Kenntnis über die Phasenlage des FSK–Signals benötigt.  Im Blockschaltbild ist dies berücksichtigt, indem das Empfangssignal  $r(t)$  gleich dem Sendesignal  $s(t)$  angenommen wurde – siehe Signalverläufe im vorherigen Abschnitt.

Kohärenter FSK–Demodulator

Dieser Demodulator arbeitet nach folgendem Prinzip (siehe obere Anordnung):

• Es handelt sich hierbei um einen  Maximum–Likelihood–Empfänger  $\rm (ML)$  in der Realisierungsform mit  Matched–Filter.  Dieses Filter mit dem Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  kann bei dem vorausgesetzten rechteckförmigen Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  auch als Integrator realisiert werden.
• Die beiden Signale  $b_{+1}(t)$  bzw.  $b_{–1}(t)$  vor den jeweiligen Matched–Filtern ergeben sich durch die phasenrichtige Multiplikation mit den Schwingungen der Frequenzen  $f_{+1}$  bzw.  $f_{–1}$.
• Der Maximum–Likelihood–Empfänger entscheidet sich bekanntlich für den Zweig  (das Symbol)  mit der größeren „Metrik”, wobei das nachgeschaltete Matched–Filter zu berücksichtigen ist.  Das heißt:
• Wahrscheinlich wurde  $a_ν = +1$  gesendet, wenn folgende Relation erfüllt ist:

$$d_{\rm +1}(\nu \cdot T) > d_{\rm -1}(\nu \cdot T) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d(\nu \cdot T) = d_{\rm +1}(\nu \cdot T) - d_{\rm -1}(\nu \cdot T) > 0\hspace{0.05cm}.$$

Das obere Blockschaltbild wurde zum besseren Verständnis entsprechend dieser Beschreibung gezeichnet.

• Natürlich kann man die Matched–Filterung aber auch auf die rechte Seite der Differenzbildung verschieben, wie im unteren Modell dargestellt.
• Dann muss nur noch ein Filter realisiert werden.

In  Aufgabe 4.13  wird dieser FSK–Demodulator ausführlich behandelt.  Auf dem entsprechenden Angabenblatt sehen Sie auch die entsprechenden Signalverläufe.

Fehlerwahrscheinlichkeit der orthogonalen FSK

$\text{Definition:}$  Man spricht von  orthogonaler FSK,

• wenn der Modulationsindex  $h$  ein ganzzahliges Vielfaches von  $0.5$  ist, und damit
• der Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  ein ganzzahliges Vielfaches von  $0.25/T$.

Beim kohärenten Demodulator ist der Korrelationskoeffizient zwischen  $d_{+1}(T_{\rm D})$  und  $d_{–1}(T_{\rm D})$  zu allen Detektionszeitpunkten gleich Null.  Der Betrag  $|d(T_{\rm D})|$ – also der Abstand der Detektionsabtastwerte von der Schwelle – ist somit konstant.  Es treten keine Impulsinterferenzen auf.

Geht man von den Voraussetzungen

• orthogonale FSK,
• AWGN–Kanal  $($gekennzeichnet durch den Quotienten  $E_{\rm B}/N_0)$, und
• der hier beschriebenen kohärenten Demodulation

aus, so ergibt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/(2 N_0 }) \hspace{0.1cm}\right ).$$

Dies entspricht  gegenüber der BPSK  einer Degradation von  $3 \ \rm dB$, weil

• zwar der kohärente FSK–Demodulator bezüglich des Nutzsignals das gleiche Ergebnis liefert,
• auch die Rauschleistungen in den beiden Zweigen genau so groß sind wie bei der BPSK,
• es aber wegen der Subtraktion zu einer Verdopplung der Gesamtrauschleistung kommt.

Während aber bei der binären Phasenmodulation (BPSK) eine nichtkohärente Demodulation auf keinen Fall möglich ist, gibt es auch einen  nichtkohärenten FSK–Demodulator, allerdings mit etwas erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$

Die Herleitung dieser Gleichung erfolgt im Kapitel  Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation  des Buches „Digitalsignalübertragung”.

Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung

Wir betrachten weiter die orthogonale FSK.  Die Grafik zeigt oben das Quellensignal  $q(t)$  und und darunter gezeichnet das FSK–Signal  $s_{\rm A}(t)$  mit dem Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T = 2$.  Zu den weiteren Signalverläufen ist Folgendes anzumerken:

Binäres FSK–Signale mit  $h = 2$,  $h = 1$  und  $h = 0.5$, teilweise mit Phasenanpassung

• Das FSK–Signal  $s_{\rm B}(t)$  verwendet die Momentanfrequenzen  $f_{+1} = 4.5/T$,  $f_{–1} = 3.5/T$   ⇒   $Δf_{\rm A} ·T = 0.5$   ⇒   $h = 1.$ Diese FSK ist wegen $h = 1$  $($Vielfaches von  $0.5)$ ebenfalls orthogonal.  Bei kleinerem  $h$  ist aber die Bandbreiteneffizienz besser   ⇒   das Spektrum  $S_{\rm B}(f)$  ist schmäler als  $S_{\rm A}(f)$.

• Allerdings erkennt man im Signal  $s_{\rm B}(t)$  an jeder Symbolgrenze einen Phasensprung um  $π$, wodurch sich wieder eine Verbreiterung des Spektrums ergibt.  Solche Phasensprünge lassen sich durch Phasenanpassung vermeiden.  Man spricht dann von  Continuous Phase Modulation  $\rm (CPM)$.

• Auch beim CPM–Signal  $s_{\rm C}(t)$  gilt  $f_{+1} = 4.5/T, f_{–1} = 3.5/T$  und  $h = 1$.  Im Bereich  $0$ ... $T$  wird der Koeffizient  $a_1 = +1$  mit  $\cos (2π·f_{+1}·t)$  repräsentiert,  im Bereich  $T$ ... $2T$  wird dagegen der ebenfalls positive Koeffizient  $a_2 = +1$  durch die um  $π$  verschobene Funktion  $\ –\cos (2π·f_{+1}·t)$  dargestellt.

• Der Modulationsindex  $h = 0.5$  von Signal  $s_{\rm D}(t)$  ist der kleinste Wert, der eine orthogonale FSK ermöglicht   ⇒   Bezeichnung  Minimum Shift Keying  $\rm (MSK)$.  Bei MSK sind bei jeder Symbolgrenze – je nach den vorherigen Symbolen – vier unterschiedliche Anfangsphasen möglich.

Zur Verdeutlichung des hier dargelegten Sachverhaltens gibt es das interaktive Applet  Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation (CPM).

MSK – Minimum Shift Keying

Blockschaltbild zur Erzeugung eines MSK–Signals

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Erzeugung einer MSK–Modulation und typische Signalverläufe an verschiedenen Punkten des MSK–Senders. Man erkennt

• das digitale Quellensignal am Punkt  (1), eine Folge von Diracimpulsen im Abstand  $T$, gewichtet mit den Koeffizienten  $a_ν ∈ \{–1, +1\}$:

$$q_\delta(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot \delta (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• das Rechtecksignal  $q_{\rm R}(t)$  am Punkt  (2)  nach Faltung mit dem Rechteckimpuls  $g(t)$  der Dauer  $T$  und der Höhe  $1/T$:

$$q_{\rm R}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• den  Frequenzmodulator  (Integrator und nachgeschalteter Phasenmodulator).  Für das Signal am Punkt  (3)  gilt:

$$\phi(t) = {\pi}/{2}\cdot \int_{0}^{t} q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$

Die Phasenwerte bei Vielfachen der Symboldauer  $T$  sind Vielfache von  $π/2$, wobei der für das MSK–Verfahren gültige Modulationsindex  $h = 0.5$  berücksichtigt ist.  Der Phasenverlauf ist linear.  Daraus ergibt sich das MSK–Signal am Punkt  (4)  des Blockschaltbildes zu

$$s(t) = s_0 \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + \phi(t)) = s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} )) \hspace{0.05cm}.$$

Realisierung der MSK als Offset–QPSK

Durch einen modifizierten Betrieb von  Offset–QPSK  $\rm (O–QPSK)$  lässt sich auch Minimum Shift Keying  $\rm (MSK)$  realisieren.

Gegenüber dem herkömmlichen Offset–QPSK–Betrieb  (obere Grafik)  sind folgende Modifikationen zu berücksichtigen, die in der unteren Grafik rot hervorgehoben sind:

Herkömmliches O–QPSK und O–QPSK in MSK–Betriebsart

• Die Symboldauer  $T$  der MSK ist gleich der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Eingangssignals, während bei der originären O–QPSK  $T = 2 \cdot T_{\rm B}$  gilt.
• Anstelle der Seriell–Parallel–Wandlung und Signalraumzuordnung müssen nun die Quellensymbole umcodiert werden:  

$$a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k.$$

• Alle Amplitudenkoeffizienten  $a_k$  mit geradzahligem Index  $(a_0,\ a_2$, ...$)$  werden dem Diracpuls im oberen Zweig eingeprägt, während  $a_1,\ a_3$, ...  im unteren Zweig übertragen werden.
• Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun  $2T$  anstelle von  $T$  und der Versatz  ("Offset")  im Quadraturzweig ist nicht mehr  $T/2$, sondern  $T$.  In beiden Fällen ist der Offset gleich  $T_{\rm B}$.
• Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls  $g_s(t)$  möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos \big ({\pi/2 \cdot t}/T \big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

$\text{Beispiel 2:}$ 

Signalverläufe der O–QPSK im MSK–Betrieb

• Die Grafik zeigt oben das binäre bipolare Quellensignal  $q(t)$,
• in der Mitte die äquivalenten TP–Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  im  $\rm I$– und  $\rm Q$–Zweig,
• unten den Phasenverlauf  $ϕ(t)$  des gesamten MSK–Sendesignals  $s(t)$.

Die Umcodierung  $a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k$  ist bereits berücksichtigt, ebenso der MSK–Grundimpuls:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array} {l} s_0 \cdot \cos ({\pi \cdot t}/{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r} } \\{\rm{f\ddot{u}r} } \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Man erkennt aus dem Vergleich des obersten und des untersten Diagramms:

• Der MSK–Phasenverlauf  $ϕ(t)$  ist abschnittsweise linear und steigt bzw. fällt innerhalb einer jeden Symboldauer um  $90^\circ \ (π/2)$, je nachdem, ob gerade  $q_k = +1$  oder  $q_k = -1$  anliegt.
• Das Sendesignal  $s(t)$  beinhaltet abschnittsweise die beiden Frequenzen  $f_{\rm T} ± 1/(4T)$.  Es hat prinzipiell den gleichen Verlauf wie das Signal  $s_{\rm D}(t)$  im Abschnitt  Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung.

Diese Form der MSK–Realisierung können Sie mit dem interaktiven Applet

 Quaternary Phase Shift Keying und Offset-QPSK 

bei folgenden Einstellungen darstellen:

• Offset–QPSK,
• MSK–Zuordnung,
• Cosinusimpuls.

General Description of Continuous Phase Modulation

Wir gehen weiter davon aus, dass die Quelle durch die Amplitudenkoeffizienten  $a_ν$  charakterisiert wird.  Diese können sowohl binär als auch  $M$–stufig sein.  Sie sind aber stets bipolar zu betrachten, zum Beispiel   $a_ν\in \{+1, -1\}$.

• Die  Phasenfunktion  $ϕ(t)$  kann bei  Continuous Phase Modulation  $\rm (CPM)$  allgemein in folgender Form dargestellt werden  $(h$  bezeichnet den Modulationsindex$)$:

$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot\int_{-\infty}^{t} \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (\tau - \nu \cdot T)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$

• In dieser Darstellung bezeichnet  $g(t)$  den  Frequenzimpuls, der folgende Bedingung erfüllen muss:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} g (t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 \hspace{0.05cm}.$$

• Mit dem  Phasenimpuls   $g_ϕ(t)$  gilt aber auch der folgende Zusammenhang:

$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_\phi (t - \nu \cdot T),\hspace{0.2cm}{\rm wobei}\hspace{0.2cm}g_\phi(t) = \int_{-\infty}^{t} g (\tau )\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau\hspace{0.05cm}.$$

Frequenzimpuls und Phasenimpuls einiger CPM–Varianten

Durch geeignete Wahl der Impulse  $g(t)$  bzw.  $g_ϕ(t)$  lassen sich viele CPM–Varianten realisieren. Einige davon sind nachfolgend dargestellt.

• Die Grafik zeigt jeweils oben den  CPM–Frequenzimpuls  $g(t)$  und unten den  CPM–Phasenimpuls  $g_ϕ(t)$.
• Die beiden linken Grafiken beschreiben die  $\rm MSK$.
• Die Bezeichnung  $\rm 1–REC$  gibt an, dass  $g(t)$  sich über eine einzige Symboldauer  $(T)$  erstreckt und rechteckförmig ist.

Die weiteren CPM–Varianten wurden mit dem Ziel entworfen, die bereits kleine Bandbreite des MSK–Signals weiter zu verringern:

• Bei  $\rm 1–RC$  ergibt sich allein durch den „weicheren” Raised–Cosine–Impuls  $g(t)$  gegenüber dem Rechteck ein schmaleres Leistungsdichtespektrum.
• Bei  $\rm 2–RC$  und  $\rm 2–REC$  handelt es sich um "Partial–Response"–Impulse, jeweils über  $2T$.  Dadurch wird der Phasenverlauf weicher.  Es wird aber auch die Demodulation erschwert, da in das Datensignal gezielte Pseudomehrstufigkeiten eingebracht werden.

Die Berechnung der CPM–Verfahren im Spektralbereich ist im allgemeinen kompliziert. Nur der Sonderfall „MSK” führt zu einfach handhabbaren Gleichungen, wie in der  Aufgabe A4.14  gezeigt wird.

$\text{Fazit:}$  Die  Continuous Phase Modulation  $\rm (CPM)$  ist keine Phasenmodulation, sondern ist eine  nichtlineare digitale Frequenzmodulation  $\rm (FSK)$, mit dem Ziel

• eine konstante Betragseinhüllende zu garantieren  (Einbrüche der Hüllkurve führen schon bei geringen Nichtlinearitäten zu Problemen), 
• einen stetigen Phasenverlauf zu ermöglichen  (Phasensprünge verbreitern das Spektrum).

Für genauere Informationen verweisen wir auf die Fachliteratur, zum Beispiel auf das empfehlenswerte Buch  [Kam04].

GMSK – Gaussian Minimum Shift Keying

Ein Vorteil der MSK ist der geringe Bandbreitenbedarf, weil:   Bandbreite ist stets teuer.

• Durch eine geringfügige Modifikation hin zum  Gaussian Minimum Shift Keying  $\rm (GMSK)$  wird das Spektrum weiter verschmälert.
• Diese Modulationsart wird zum Beispiel beim Mobilfunkstandard  GSM  angewendet.

Signalverläufe bei Gaussian Minimum Shift Keying  $\rm (GMSK)$

Aus der Grafik erkennt man:

• Der Frequenzimpuls  $g(t)= g_{\rm G}(t)$  ist nun nicht mehr rechteckförmig wie  $g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf.

• Dadurch ergibt sich ein weicherer Phasenverlauf am Punkt  (3)  als bei  MSK, bei dem  $ϕ(t)$  symbolweise linear ansteigt / abfällt.

• Man erreicht die sanfteren GMSK–Phasenübergänge durch einen  Gaußtiefpass.  Dessen Frequenzgang und Impulsantwort lauten mit der systemtheoretischen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 \cdot f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm}.$$

• Der resultierende Frequenzimpuls  $g(t)$  am Punkt  (2)  ergibt sich aus der Faltung von  $g_{\rm R}(t)$  und  $h_{\rm G}(t)$.

• Das Signal  $s(t)$  am Punkt  (4)  weist bei GMSK nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf wie bei MSK, auch wenn dies aus obiger Grafik mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist.

$\text{Beispiel 3:}$  Beim GSM–Verfahren ist die 3dB–Grenzfrequenz mit  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  spezifiziert, wobei zwischen der systemtheoretischen und der 3dB–Grenzfrequenz folgender Zusammenhang besteht:

$$H_{\rm G}(f= f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}dB}) = {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}{dB} } }/{2 f_{\rm G} })^2} = {1}/{\sqrt{2} }$$

$$\Rightarrow\hspace{0.15cm} f_{\rm 3 dB} = f_{\rm G} \cdot \sqrt { {4}/{\pi}\cdot {\rm ln }\sqrt{2} }\approx {2}/{3}\cdot f_{\rm G} \hspace{0.05cm}.$$

Aus  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  folgt damit auch  $f_{\rm G} · T ≈ 0.45$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.13: FSK–Demodulation

Aufgabe 4.14: Phasenverlauf der MSK

Aufgabe 4.14Z: Offset–QPSK vs. MSK

Aufgabe 4.15: MSK im Vergleich mit BPSK und QPSK

Aufgabe 4.15Z: MSK–Grundimpuls und MSK-Spektrum

Aufgabe 4.16: Vergleich zwischen binärer PSK und binärer FSK