Conclusions from the Allocation Theorem

1. Linear and Time Invariant Systems
2. Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme
3. Conclusions from the Allocation Theorem

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# ÜBERBLICK ZUM DRITTEN HAUPTKAPITEL #

In the first two chapters, filter functions with real-valued frequency responses were mostly considered for reasons of presentation so that the associated time function is symmetric about zero-time. However, the impulse response of a realisable system must always be causal, that is,  $h(t)$  must be identical to zero for  $t < 0$ . This strong asymmetry of the time function  $h(t)$,  though, implies at the same time that the frequency response  $H(f)$  of a realisable system is always complex-valued with the exception of  $H(f) = K$  where there is a fixed relation between its real part and imaginary part.

This third chapter provides a recapitulatory account of the description of causal realizable systems, which differ also in the mathematical methods from those commonly used with non-causal systems.

In detail, the following is dealt with:

• the Hilbert transformation, which states how real and imaginary parts of  $H(f)$  are related,
• the Laplace transformation, which yields another spectral function  $H_{\rm L}(p)$  for causal  $h(t)$ ,
• the description of realizable systems by the pole-zero plot, as well as
• the inverse Laplace transformation using the theory of functions (residue theorem).

For this chapter we recommend

• the educational video  Arithmetic with complex numbers for preparation, as well as
• the interactive applet  Causal systems – Laplace transformation - a coherent depiction.

Voraussetzungen für das gesamte Kapitel "Realisierbare Systeme"

In the first two chapters, mostly real  transfer functions   $H(f)$  were considered for which the associated impulse response  $h(t)$  consequently is always symmetric with respect to the reference time  $t = 0$ . Such transfer functions

• are suitable to explain basic relationships in a simple way,
• but unfortunately are not realizable for reasons of causality.

Dies wird deutlich, wenn man sich die Definition der Impulsantwort betrachtet:

$\text{Definition:}$  Die  Impulsantwort  $h(t)$  ist gleich dem Ausgangssignal  $y(t)$  des Systems, wenn am Eingang zum Zeitpunkt  $t = 0$  ein unendlich kurzer Impuls mit unendlich großer Ampltude anliegt:   $x(t) = δ(t)$. Man bezeichnet einen solchen Impuls als Diracimpuls.

Es ist offensichtlich, dass keine Impulsantwort realisiert werden kann, für die  $h(t < 0) ≠ 0$  gilt.

$\text{Definition:}$  Bei einem  kausalen System  ist die Impulsantwort $h(t)$ für alle Zeiten  $t < 0$  identisch Null.

Die einzige reelle Übertragungsfunktion, die der Kausalitätsbedingung „das Ausgangssignal kann nicht vor dem Eingangssignal beginnen” genügt, lautet:

$$H(f) = K \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\quad h(t) = K \cdot \delta(t).$$

Alle anderen reellwertigen Übertragungsfunktionen  $H(f)$  beschreiben akausale Systeme und sind somit durch ein (elektrisches) Schaltungsnetzwerk nicht zu realisieren.

$\text{In anderen Worten:}$   Außer der Übertragungsfunktion  $H(f) = K$  ist jede realistische Übertragungsfunktion komplex.

• Gilt zudem  $K=1$, so bezeichnet man die Übertragungsfunktion als ideal. 
• Der Ausgang  $y(t)$  ist dann identische mit dem Eingang  $x(t)$  – auch ohne Dämpfung oder Verstärkung.

Real– und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion

Jede kausale Impulsantwort  $h(t)$  kann als Summe eines geraden Anteils  $h_{\rm g}(t)$  und eines ungeraden Anteils  $h_{\rm u}(t)$  dargestellt werden:

$$\begin{align*} h_{ {\rm g}}(t) & = {1}/{2}\cdot \big[ h(t) + h(-t) \big]\hspace{0.05cm},\\ h_{ {\rm u}}(t) & = {1}/{2}\cdot \big[ h(t) - h(-t) \big] = h_{ {\rm g}}(t) \cdot {\rm sign}(t)\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

Hierbei ist die sogenannte  Signum–Funktion  verwendet:

$${\rm sign}(t) = \left\{ \begin{array}{c} -1 \\ +1 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} { t < 0,} \\ { t > 0.} \\ \end{array}$$

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend  Aufgabe 1.3Z:

$$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5/T \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c} { t < 0\hspace{0.05cm},} \\ { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

Aufteilung der Impulsantwort in einen geraden und einen ungeraden Anteil

Man erkennt:

• Für positive Zeiten gilt  $h_{\rm g}(t) = h_{\rm u}(t) = h(t)/2$.
• Für negative Zeiten unterscheiden sich  $h_{\rm g}(t)$  und  $h_{\rm u}(t)$  nur durch das Vorzeichen.
• Für alle Zeiten gilt  $h(t) = h_{\rm g}(t) + h_{\rm u}(t)$, auch zum Zeitpunkt  $t = 0$ (durch Kreise markiert).

Betrachten wir nun den gleichen Sachverhalt im Spektralbereich. Nach dem  Zuordnungssatz  gilt für die komplexe Übertragungsfunktion:  

$$H(f) = {\rm Re} \left\{ H(f) \right \} + {\rm j} \cdot {\rm Im} \left\{ H(f) \right \} ,$$

wobei folgende Zuordnung gilt:

$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\quad h_{ {\rm g}}(t)\hspace{0.05cm},$$

$${\rm j} \cdot {\rm Im} \left\{ H(f) \right\} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\quad h_{ {\rm u}}(t)\hspace{0.05cm}.$$

Zunächst soll an einem weiteren Beispiel dieser Zusammenhang zwischen Real– und Imaginärteil von  $H(f)$  herausgearbeitet werden.

$\text{Beispiel 2:}$  Wir gehen von einem Tiefpass erster Ordnung aus, für dessen Übertragungsfunktion gilt:

$$H(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G} } = \frac{1}{1+(f/f_{\rm G})^2}- {\rm j} \cdot \frac{f/f_{\rm G} }{1+(f/f_{\rm G})^2} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei gibt  $f_{\rm G}$  die 3dB–Grenzfrequenz an, bei der  $\vert H(f)\vert^2$  auf die Hälfte seines Maximums  $($bei  $f = 0)$  abgesunken ist. Die dazugehörige Impulsantwort  $h(t)$  wurde bereits im obigen  $\text{Beispiel 1}$  für  $f_{\rm G} = 1/(2πT)$  dargestellt.

Die Grafik zeigt den Realteil (blau) und den Imaginärteil (rot) von  $H(f)$. Grün–gestrichelt ist zudem der Betrag dargestellt.

Frequenzgang eines Tiefpasses erster Ordnung  (Real– und Imaginärteil)

Nachdem die Zeitfunktionen  $h_{\rm g}(t)$  und  $h_{\rm u}(t)$  über die Signumfunktion zusammenhängen, besteht auch

• zwischen dem Realteil   ⇒   ${\rm Re} \{H(f)\}$ 
• und dem Imaginärteil   ⇒  ${\rm Im} \{H(f)\}$ 

der Übertragungsfunktion eine feste Verknüpfung

          ⇒   die  Hilbert–Transformation.

Diese wird nachfolgend beschrieben.

Hilbert–Transformation

Wir betrachten hier ganz allgemein zwei Zeitfunktionen  $u(t)$  und  $w(t) = \sign(t) · u(t)$.

• Die dazugehörigen Spektralfunktionen werden mit  $U(f)$  und  ${\rm j} · W(f)$  bezeichnet.
• Das heißt, in diesem Abschnitt gilt  ${w(t) \, \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \, {\rm j} \cdot W(f) }$  und nicht die sonst übliche Fourierkorrespondenz  ${w(t) \, \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \, W(f)}.$

Mit der Korrespondenz   ${\rm sign}(t) \, \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \, {1}/({{\rm j} \, \pi f })$   erhält man nach Ausschreiben des Faltungsintegrals mit der Integrationsvariablen  $ν$ :

$${\rm j} \cdot W(f) = \frac{1}{{\rm j} \, \pi f }\, \star \, U(f) \quad \Rightarrow \quad W(f) = -\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{U(\nu)}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

Da aber gleichzeitig auch   $u(t) = \sign(t) · w(t)$   zutrifft, gilt in gleicher Weise:

$$U(f) = \frac{1}{{\rm j} \, \pi f }\, \star \, {\rm j} \cdot W(f) \quad \Rightarrow \quad U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

Man hat diese Integraltransformationen  nach ihrem Entdecker  David Hilbert  benannt.

$\text{Definition:}$  Beide Varianten der  Hilbert–Transformation  werden im weiteren Verlauf mit folgenden Kurzzeichen gekennzeichnet:

$$W(f) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad U(f) \hspace{0.8cm}{\rm bzw.}\hspace{0.8cm}W(f)= {\cal H}\left\{U(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

• Zur Berechnung des durch die Pfeilspitze markierten Spektrums – hier  $U(f)$  – wird von den beiden ansonsten identischen oberen Gleichungen die Gleichung mit positivem Vorzeichen genommen:

$$U(f) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{W(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

• Das durch den Kreis markierte Spektrum – hier  $W(f)$  – ergibt sich aus der Gleichung mit negativem Vorzeichen:

$$ W(f) = -\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{+\infty} { \frac{U(\nu)}{f - \nu} }\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

Bei doppelter Anwendung der Hilbert–Transformation erhält man wieder die ursprüngliche Funktion mit Vorzeichenwechsel, bei vierfacher Anwendung die ursprüngliche Funktion inklusive dem richtigen Vorzeichen:

$${\cal H}\left\{ {\cal H}\left\{ U(f) \right \} \right \} = -U(f), \hspace{0.2cm} {\cal H}\left\{ {\cal H}\left\{ {\cal H}\left\{ {\cal H}\left\{ U(f) \right \} \right \} \right \} \right \}= U(f)\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Beispiel 3:}$  In  [Mar94]  findet man die folgende Hilbert–Korrespondenz:

$$\frac{1}{1+x^2} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad \frac{x}{1+x^2}\hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei steht  $x$  stellvertretend für eine geeignet normierte Zeit– oder Frequenzvariable.
• Benutzen wir beispielsweise  $x = f/f_{\rm G}$  als normierte Frequenzvariable, so erhält man daraus die Korrespondenz:

$$\frac{1}{1+(f/f_{\rm G})^2} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad \frac{f/f_{\rm G} }{1+(f/f_{\rm G})^2}\hspace{0.05cm}.$$

Ausgehend von der Gleichung

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}$$

wird somit das auf im  $\text{Beispiel 2}$  gefundene Ergebnis bestätigt:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = \frac{-f/f_{\rm G} }{1+(f/f_{\rm G})^2}\hspace{0.05cm}.$$

Einige Paare von Hilbert–Korrespondenzen

Zur Herleitung von Hilbert–Korrespondenzen geht man sehr pragmatisch vor, nämlich wie folgt:

• Man berechnet die  Laplace–Transformierte  $Y_{\rm L}(p)$  der Funktion  $y(t)$, wie nachfolgend beschrieben. Diese ist bereits implizit kausal.
• Man wandelt die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in das zugehörige Fourierspektrum  $Y(f)$  um und spaltet dieses in Real– und Imaginärteil auf.  Dazu ersetzt man die Variable  $p$  durch  ${\rm j \cdot 2}πf.$
• Der Real– und Imaginärteil – also  ${\rm Re} \{Y(f)\}$  und  ${\rm Im} \{Y(f)\}$ – sind somit ein Paar von Hilbert–Transformierten. Man ersetzt weiter
  • die Frequenzvariable  $f$  durch  $x$,
  • ${\rm Re} \{Y(f)\}$  durch  $g(x)$, und
  • ${\rm Im} \{Y(f)\}$  durch  ${\cal H} \{g(x)\}$.

• Die neue Variable  $x$  kann sowohl eine (geeignet) normierte Frequenz oder auch eine (geeignet) normierte Zeit beschreiben. Somit ist die  Hilbert–Transformation  auf verschiedene Probleme anwendbar.

Tabelle mit Hilbert–Korrespondenzen

Die Tabelle zeigt einige solcher Hilbertpaare.   Auf die Vorzeichen wurde verzichtet, so dass beide Richtungen gültig sind.

$\text{Beispiel 4:}$  Gilt beispielsweise  ${\cal H} \{g(x)\} = f(x)$, so folgt daraus auch  ${\cal H} \{f(x)\} = \, –g(x)$. Insbesondere gilt auch:

$${\cal H}\left \{ \cos(x) \right\} = \sin(x)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\cal H}\left \{ \sin(x) \right\} = -\cos(x)\hspace{0.05cm}.$$

Dämpfung und Phase von Minimum–Phasen–Systemen

Eine wichtige Anwendung der Hilbert–Transformation stellt der Zusammenhang zwischen Dämpfung und Phase bei den so genannten Minimum–Phasen–Systemen  dar. Im Vorgriff auf das folgende Kapitel  Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion  sei erwähnt, dass diese Systeme in der rechten  $p$–Halbebene weder Pole noch Nullstellen aufweisen dürfen.

Allgemein gilt für die Übertragungsfunktion  $H(f)$  mit dem  komplexen Übertragungsmaß  $g(f)$  sowie der Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und der Phasenfunktion  $b(f)$:

$$H(f) = {\rm e}^{-g(f)} = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} g(f) = a(f)+ {\rm j} \cdot b(f)\hspace{0.05cm}.$$

Bei den Minimum–Phasen–Systemen gilt nun aber nicht nur wie bei allen realisierbaren Systemen die Hilbert–Transformation

• bezüglich Imaginär– und Realteil   ⇒   ${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \, \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow \, {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.01cm},$
• sondern zusätzlich auch noch die Hilbert–Korrespondenz zwischen der Phasen– und der Dämpfungsfunktion   ⇒   $b(f) \, \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow \, a(f)\hspace{0.05cm}.$

$\text{Beispiel 5:}$  Ein Tiefpass besitze im Durchlassbereich – also für  $\vert f \vert < f_{\rm G}$ – den Frequenzgang  $H(f) = 1$   ⇒   $a(f) =0 \ {\rm Np}$, während für größere Frequenzen die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  den konstanten Wert  $a_{\rm S}$ (in Neper) besitzt.

In diesem Sperrbereich ist  $H(f) = {\rm e}^{–a_{\rm S} }$  zwar sehr klein, aber nicht Null.

Dämpfungs– und Phasenfunktion eines beispielhaften Minimum–Phasen–Tiefpasses

• Soll der Tiefpass kausal und damit realisierbar sein, so muss die Phasenfunktion  $b(f)$  gleich der Hilbert–Transformierten der Dämpfung  $a(f)$  sein.
• Da die Hilbert–Transformierte einer Konstanten gleich Null ist, kann in gleicher Weise von der Funktion  $a(f) - a_{\rm S}$  ausgegangen werden.

Diese in der Grafik gestrichelt eingezeichnete Funktion ist zwischen  $±f_{\rm G}$  (negativ) rechteckförmig. Entsprechend der  Tabelle  auf der letzten Seite gilt deshalb:

$$b(f) = {a_{\rm S} }/{\pi} \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\left\vert \frac{f+f_{\rm G} }{f-f_{\rm G} }\right \vert \hspace{0.05cm}.$$

Jeder andere Phasenverlauf würde dagegen zu einer akausalen Impulsantwort führen.

Exercises for the Chapter

Exercise 3.1: Kausalitätsbetrachtungen

Exercise 3.1Z: Hilbert-Transformierte