Linear Digital Modulation - Coherent Demodulation

1 Common block diagram for ASK and BPSK
2 Noise consideration for the BPSK system
3 Error probability of the optimal BPSK system
4 Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen ASK–Systems
5 Error probabilities for 4–QAM and 4–PSK
6 Phase offset between transmitter and receiver
7 Basisbandmodell für ASK und BPSK
8 Aufgaben zum Kapitel

Common block diagram for ASK and BPSK

Block diagram, valid for both an ASK and BPSK transmission system equally

In the chapter Linear Digital Modulation of the book "Modulation Methods" the digital carrier frequency systems

ASK (Amplitude Shift Keying) and
BPSK (Binary Phase Shift Keying)

have already been described in detail. In this chapter, the bit error probability of these systems is now calculated, assuming the outlined common block diagram.

In the following, the following assumptions apply again:

Demodulation always occurs coherently. That means: A carrier signal $z_{\rm E}(t)$ with the same frequency as at the transmitter but with double amplitude is added at the receiver. Let the phase offset between the transmitter carrier signal $z(t)$ and the receiver carrier signal $z_{\rm E}(t)$ initially be $\Delta \phi_{\rm T} = 0$.
For BPSK, the bipolar amplitude coefficients $a_\nu \in \{-1, +1\}$ are assumed and the decision threshold is $E = 0$. In contrast, for ASK, $a_\nu \in \{0, 1\}$ is valid. The decision threshold $E$ is to be chosen as best as possible for this unipolar case.
We always consider the AWGN channel, that is, for the channel frequency response $H_{\rm K}(f) = 1$ and $n(t)$ represents white Gaussian noise with (one-sided) noise power density $N_0$.
The equalization of linear channel distortions – i.e., the case $H_{\rm K}(f) \ne \rm const.$ – is possible in the same way as for baseband transmission. For this, please refer to the chapter Consideration of Channel Distortion and Equalization.

Noise consideration for the BPSK system

We first assume a bipolar rectangular source signal $q(t)$ with the values $\pm s_0$. Its normalized spectrum is: $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$.

Just as in baseband transmission, the smallest possible bit error probability for the receiver filter is $H_{\rm E}(f) = {H_{\rm S} }^\star(f) = {\rm si}(\pi f T)$. The signal waveforms of this matched filter receiver BPSK system show:

The signal component of the detection signal $d_{\rm S}(t)$ – i.e., without noise component – is always $\pm s_0$ at all detection times $\nu \cdot T$, with the signs determined by the amplitude coefficients $a_\nu \in \{-1, +1\}$.
As for the comparable baseband system, the error probability is $p_{\rm B} = {\rm Q}(s_0/\sigma_d)$, with the complementary Gaussian error interval ${\rm Q}(x)$.

Noise power densities before and after receiver-side multiplication of the carrier

Different from the baseband system, however, is the noise power. The noise component $b_{\rm N}(t)$ is obtained by multiplying the bandpass noise $n(t)$ by the receiver-side carrier $z_{\rm E}(t) =2 \cdot \cos(2\pi f t)$ and has the noise power density

$${\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)={\it \Phi}_{n}(f) \star \big[ 1^2 \cdot \delta ( f - f_{\rm T})+ 1^2 \cdot \delta ( f + f_{\rm T})\big].$$

The diagram illustrates this equation using bandlimited white noise with bandwidth $B_n$ as an example:

While ${\it \Phi}_{n}(f = f_{\rm T}) = N_0/2$ holds, ${\it \Phi}_{b{\rm N}}(f=0) = N_0$.
The components around $\pm 2f_{\rm T}$ are eliminated by the subsequent receiver filter $H_{\rm E}(f)$ and do not matter for further considerations.
For true white noise, with the $B_n \to \infty$ boundary transition, for all frequencies:

$${{\it \Phi}_{n}(f)}={N_0}/{2}, \hspace{0.3cm}{{\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)}={N_0}.$$

Error probability of the optimal BPSK system

The observations just made show that to calculate the error probability of the BPSK system, one can dispense with the two multiplications by $z(t)$ and $z_{\rm E}(t) = 2 \cdot z(t)$ if one doubles the noise power.

Equivalent circuit diagram of the BPSK

This results in AWGN noise for the noise power before the decision:

$$\sigma_d^2 = N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm si}^2(\pi \hspace{0.01cm} f \hspace{0.05cm} T_{\rm B}) \,{\rm d} f = {N_0}/{T_{\rm B}},$$

i.e., twice the value as for baseband transmission. Note: To allow later comparison with quadrature amplitude modulation (QAM), the symbol duration $T$ has been replaced here by the bit duration $T_{\rm B}$. However, $T_{\rm B}=T$ is valid for BPSK (and also for ASK).

$\text{Conclusion:}$ Damit lautet die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit mit den zwei üblichen Gaußschen Fehlerfunktionen:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{N_0 } }\hspace{0.1cm} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{2 \cdot N_0 } }\hspace{0.1cm} \right ).$$

Berücksichtigt man weiter, dass die bei BPSK aufgewandte Energie pro Bit

$$E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$$

beträgt, so kann diese Gleichung wie folgt umgeformt werden:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ).$$

Es ergibt sich somit genau die gleiche Formel wie bei der Basisbandübertragung, bei der jedoch für die "Energie pro Bit" $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}$ zu verwenden war und nicht wie hier $E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$.

Anmerkung: Diese letzte Gleichung gilt nicht nur bei Rechteck–Quellensignal ⇒ $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$, sondern für jedes beliebige $H_{\rm S}(f)$, solange

das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f) = {H_{\rm S} }^\star(f)$ exakt an den Sender angepasst ist, und
das Produkt $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$ das erste Nyquistkriterium erfüllt.

Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen ASK–Systems

Wir betrachten nun ein ASK–System bei gleichen Voraussetzungen wie das BPSK–System. Hier

sind alle Detektionsnutzsignalwerte $d_{\rm S}(\nu \cdot T)$ entweder $0$ oder $s_0$,
ist dementsprechend deren Abstand von der Schwelle $E = s_0/2$ jeweils $s_0/2$,
ist der Rauscheffektivwert $\sigma_d= \sqrt{N_0}/{T_{\rm B}}$ genau so groß wie bei BPSK,
ist die Energie pro Bit nur halb so groß wie bei BPSK: $E_{\rm B} = {1}/{4}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$

$\text{Fazit:}$ Damit lauten die entsprechenden Gleichungen für die ASK–Fehlerwahrscheinlichkeit als Funktion von $s_0$ bzw. von $E_{\rm B}$:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/2}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{4 \cdot N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ),\hspace{1cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B} }{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B} }{2 \cdot N_0 } } \right ).$$

Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK abhängig vom Quotienten $E_{\rm B}/N_0$. Diese Darstellung eignet sich für den Vergleich zwischen diesen binären Modulationsverfahren unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung:

Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK

Man erkennt aus dieser doppelt–logarithmischer Darstellung:

Die ASK–Kurve liegt um $3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve.
Für die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 10^{-8}$ benötigt man bei BPSK etwa $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 12 \ \rm dB$, bei ASK dagegen ca. $15 \ \rm dB$.
Der Systemvergleich beim festen Abszissenwert $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$ liefert für die BPSK $p_{\rm B} = 2 \cdot 10^{-4}$ und für die ASK $p_{\rm B} = 6 \cdot 10^{-3}$.

Error probabilities for 4–QAM and 4–PSK

Die Quadratur–Amplitudenmodulation (QAM) wurde im Buch "Modulationsverfahren" bereits ausführlich beschrieben. Aus der Signalraumzuordnung und den Signalverläufen ist zu entnehmen:

Die 4–QAM kann durch zwei zueinander orthogonale BPSK–Systeme mit Cosinus– bzw. Minus–Sinus–Träger dargestellt werden.
Das binäre Quellensignal $q(t)$ mit der Bitdauer $T_{\rm B}$ ⇒ Bitrate $R_{\rm B}$ wird in zwei Teilsignale $q_{\rm I}(t)$ ⇒ Inphase-Komponente und $q_{\rm Q}(t)$ ⇒ Quadratur-Komponente mit jeweils halber Rate aufgespaltet (Seriell–Parallel–Wandlung ). Die Symboldauer von $q_{\rm I}(t)$ bzw. $q_{\rm Q}(t)$ beträgt jeweils $T = 2\cdot T_{\rm B}$ ; die Symbolrate ist jeweils $R_{\rm B}/2$.
Die Amplituden der beiden zueinander orthogonalen Trägersignale sind um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner gewählt als bei der BPSK, so dass die Hüllkurve des Sendesignals $s(t)$ wiederum $s_0$ beträgt.

Die QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit ist die gleiche wie die der zwei orthogonalen BPSK–Systemen. Wegen der kleineren Signalamplitude und der niedrigeren Symbolrate gilt:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\sigma_d}^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot T_{\rm B}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 }{2} \cdot \frac{2 \cdot T_{\rm B} }{N_0}}\hspace{0.1cm}\right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$

$\text{Fazit:}$

Obwohl mit der 4–QAM gegenüber der BPSK die doppelte Informationsmenge übertragen werden kann, ergibt sich in Abhängigkeit von $E_{\rm B}/{N_0 }$ die genau gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$.
Berücksichtigt ist hierbei, dass auch bei der 4–QAM für die mittlere Energie pro Bit gilt: $E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$
Da sich die quaternäre Phasenmodulation (4–PSK) von der 4–QAM nur um eine Phasenverdrehung von $45^\circ$ unterscheidet, ergibt sich bei Berücksichtigung geeigneter Entscheidungsgebiete auch für die 4–PSK die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit.

Phasendiagramme bei BPSK mit Cosinusträger (links) bzw. Minus–Sinusträger (rechts)

$\text{Beispiel 1:}$ Die Grafik zeigt zwei verschiedene Phasendiagramme von Binary Phase Shift Keying (BPSK):

Die beiden Diagramme unterscheiden sich allein durch die Trägerphase. In beiden Fällen gilt $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$.
In der linken Grafik erkennt man Bitfehler (durch Kreise hervorgehoben) durch gelbe Kreuze rechts von der vertikalen Entscheiderschwelle bzw. durch blaue Kreuze in der linken Halbebene.
In der rechten Grafik weisen gelbe Kreuze oberhalb der horizontalen Schwelle und blaue Kreuze unterhalb auf Bitfehler hin.
Der Abstand der Nutzabtastwerte ohne Rauschen (markiert durch die weißen Punkte) von der jeweiligen Entscheiderschwelle (grün markiert) beträgt jeweils $s_0$.
Die Varianz der Detektionsabtastwerte – erkennbar am Radius der Punktwolken – ist wegen $E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$ gleich

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0 }{ T_{\rm B} }= \frac{s_0^2/2 }{ E_{\rm B}/N_0}.$$

Mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm B}/N_0 = 10^{0.6} \approx 4$ ergibt sich daraus:

$$ {\sigma_d^2 }/{ {s_0}^2}= \big [ { 2 \cdot 10^{0.6} }\big ]^{-1} \approx 0.125\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} { {\sigma_d} }/{ {s_0} }\approx 0.35 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( s_0/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot 10^{0.6} } \hspace{0.08cm}\right ) = {\rm Q}(2.8) \approx 2 \cdot 10^{-3}.$$

Phasendiagramm bei 4–QAM

$\text{Beispiel 2:}$ Nun betrachten wir ein Phasendiagramm der 4–QAM, die man als zwei orthogonale BPSK–Systeme mit Cosinus– und Minus–Sinusträger auffassen kann.

Hier kommt es zu einem Bitfehler, wenn die horizontale oder die vertikale Entscheiderschwelle überschritten wird.
In der Grafik erkennt man einen solchen Bitfehler, wenn ein Kreuz farblich nicht zu seinem Quadranten passt.
Der Abstand der nunmehr vier Nutzabtastwerte ohne Rauschen (weiße Punkte) vom Ursprung beträgt wieder $s_0$.
Der Abstand zu den Entscheiderschwellen ist bei 4–QAM allerdings um den Faktor $\sqrt{2}$ geringer als bei BPSK.
Der Rauscheffektivwert $\sigma_d$ ist bei 4–QAM um den gleichen Faktor $\sqrt{2}$ kleiner als bei BPSK.
Somit sind die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von 4–QAM und BPSK gleich: $p_{\rm B} \approx 2 \cdot 10^{-3}.$

Phase offset between transmitter and receiver

Voraussetzung für die Gültigkeit der bisherigen Gleichungen ist eine strenge Synchronität zwischen den bei Sender und Empfänger zugesetzten Trägersignalen. Nun wird ein Phasenversatz $\Delta \phi_{\rm T}$ zwischen den beiden Trägersignalen $z(t)$ und $z_{\rm E} (t)$ angenommen, während weiterhin von Frequenzsynchronität ausgegangen wird.

Phasendiagramme bei BPSK und 4–QAM mit $\Delta \phi_{\rm T} = 30 ^\circ$.

Die Grafik zeigt die Phasendiagramme für $\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ$. Man erkennt:

Sowohl bei BPSK (links) als auch bei der 4–QAM (rechts) bewirkt ein Phasenversatz um $\Delta \phi_{\rm T}$ eine entsprechende Drehung des Phasendiagramms.
Bei BPSK bewirkt der Phasenversatz ein um $\cos\Delta \phi_{\rm T}$ kleineres Nutzsignal. Den gleichen Effekt haben wir bereits beim Synchrondemodulator eines analogen Übertragungssystems festgestellt.
Demzufolge wird auch der Abstand des Detektionsnutzsignals von der Entscheiderschwelle um den gleichen Faktor geringer, was zu einer höheren Fehlerwahrscheinlichkeit führt:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \cos({\rm \Delta} \phi_{\rm T})\right ) .$$

Mit den hier zugrundeliegenden Zahlenwerten $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$ und $\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ)$ erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK (linkes Diagramm) von $p_{\rm B} \approx 0.2\%$ auf etwa $p_{\rm B} \approx 0.6\%$.

Dagegen wird bei der 4–QAM (rechtes Diagramm) die Fehlerwahrscheinlichkeit bei gleichen Bedingungen nahezu um den Faktor $40$ größer: $p_{\rm B} \approx 8\%$.

Falls $|\Delta \phi_{\rm T}| < 45^\circ$ ist, gilt für die 4–QAM folgende allgemeine Gleichung (siehe Aufgabe 1.9 ):

$$p_{\rm B} = 1/2 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm T})}\right) + 1/2 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\rm T})}\right).$$

$\text{Fazit:}$

Obwohl man mit der 4–QAM über den gleichen Kanal die doppelte Information wie bei BPSK übertragen kann, weisen bei idealen Bedingungen beide Systeme die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit auf.
Bei nicht idealen Bedingungen – zum Beispiel bei einem Phasenversatz – steigt allerdings die Fehlerwahrscheinlichkeit der 4–QAM sehr viel stärker an als bei BPSK.

Basisbandmodell für ASK und BPSK

Die Grafik zeigt oben nochmals das Gesamtblockschaltbild eines Trägerfrequenzsystems mit kohärenter Demodulation, das für ASK (unipolare Amplitudenkoeffizienten) und BPSK (bipolare Koeffizienten) in gleicher Weise gültig ist.

Durch die Multiplikation mit dem Trägersignal $z(t)$ wird das Spektrum $Q(f)$ des Quellensignals – und dementsprechend auch das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_q(f)$ – beidseitig um die Trägerfrequenz $(\pm f_{\rm T})$ verschoben.
Nach dem Kanal wird diese Verschiebung durch den Synchrondemodulator wieder rückgängig gemacht.

Blockschaltbild und äquivalentes Basisbandmodell für die kohärente ASK bzw. BPSK

Geht man vom äquivalenten Basisbandmodell entsprechend der unteren Grafik aus, so lässt sich die Berechnung der Signale nach dem Demodulator vereinfachen:

Man kürzt quasi den Einfluss von Modulator und Demodulator und ersetzt den Bandpasskanal mit dem Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ durch eine geeignete Tiefpass–Übertragungsfunktion $H_{\rm MKD}(f)$, wobei der Index für "Modulator–Kanal–Demodulator" steht.
Unter Berücksichtigung einer Phasendifferenz $\Delta \phi_{\rm T}$ zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger erhält man für die resultierende Übertragungsfunktion:

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big [ {\rm e}^{\hspace{0.04cm}-{\rm j} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\rm \Delta} \phi_{\rm T}} \cdot H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) +{\rm e}^{\hspace{0.04cm}{\rm j} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\rm \Delta} \phi_{\rm T}} \cdot H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ] .$$

Bei einem reellen und um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ symmetrischen Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ – also falls $H_{\rm K}(f_{\rm T}-f) = H_{\rm K}(f_{\rm T}+f)$ gilt – kann man diese Gleichung wie folgt vereinfachen:

$$H_{\rm MKD}(f) = \frac{\cos({\rm \Delta} \phi_{\rm T})}{2} \cdot \big [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ] .$$

Die Signale $b\hspace{0.08cm}'(t)$ im unteren Bild und $b(t)$ nach dem Demodulator des Bandpass–Systems im oberen Bild sind somit bis auf die $±2f_{\rm T}$–Anteile identisch. Diese Anteile werden jedoch durch das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ eliminiert und müssen nicht weiter berücksichtigt werden.

$\text{Fazit:}$

Die Fehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK können somit auch mit dem einfacheren Basisbandmodell berechnet werden, und zwar auch dann, wenn ein verzerrender Kanal $H_{\rm K}(f)$ vorliegt.
Zu beachten ist, dass auch das Rauschsignal $n(t)$ in den Tiefpassbereich transformiert werden muss. Bei weißem Rauschen muss hierzu ${\it \Phi}_n(f) = N_0/2$ durch ${\it \Phi}_{n,\hspace{0.06cm}{\rm TP} }(f) = N_0$ ersetzt werden.

Spektren des BPSK–Systems und des zugehörigen Basisbandmodells

$\text{Beispiel 3:}$ Die Grafik verdeutlicht das Basisbandmodell anhand der Amplitudenspektren, wobei vereinfachend vorausgesetzt wird:

ein gaußförmiges $Q(f)$,
die BPSK–Modulation,
ein rechteckförmiger Bandpasskanal $H_{\rm K}(f)$,
eine phasensynchrone Demodulation, und
ein ebenfalls rechteckförmiges Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ mit $\Delta f_{\rm E} > \Delta f_{\rm K}$.

Man erkennt:

Das Spektrum $D(f)$ des Detektionssignals $d(t)$ wird durch das äquivalente Basisbandmodell richtig wiedergegeben, obwohl sich die Spektren $B(f)$ bzw. $B\hspace{0.05cm}'(f)$ um die doppelte Trägerfrequenz unterscheiden.

Die resultierende Übertragungsfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ berücksichtigt auch die Bandbegrenzung durch den Kanal, der in diesem Beispiel als rechteckförmig um die Trägerfrequenz angenommen wurde.