Methods to Reduce the Bit Error Rate in DSL

1. Examples of Communication Systems
2. DSL – Digital Subscriber Line
3. Methods to Reduce the Bit Error Rate in DSL

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Transmission properties of copper cables

As already mentioned in the chapter  "General Description of DSL" , the telephone line network of Deutsche Telekom mainly uses balanced copper pairs with a diameter of  $\text{0.4 mm}$ . The last mile is divided into three segments:

• the main cable,
• the branch cable,
• the house connection cable.

On average, the line length is less than four kilometers. In cities, the copper line is shorter than  $90\%$  of all cases  $\text{2.8 km}$.

Structure of the local loop area

The $\rm xDSL$ variants discussed here were developed specifically for use on such symmetrical balanced copper pairs in the cable network. In order to better understand the technical requirements for the xDSL systems, a closer look must be taken at the transmission characteristics and interference on the conductor pairs. This topic has already been dealt with in detail in the fourth main chapter  Properties of Electrical Lines  of the book  "Linear and Time Invariant Systems"  and is therefore only briefly summarized here using the  "equivalent circuit" :

• Line transmission properties are fully characterized by the  characteristic impedance  $Z_{\rm W}(f)$  and the transmission coefficient  $γ(f)$  . Both quantities are generally complex.
• The  attenuation coefficient  $α(f)$  is the real part of the transmission measure and describes the damping of the wave propagating along the line; $α(f)$  is an even function of frequency.
• The odd imaginary part  $β(f)$  of the complex transmission measure is called  phase coefficient  and gives the phase rotation of the signal wave along the line.

Attenuation of balanced copper wire pairs

$\text{Example 1:}$  As an example, we consider the attenuation coefficient shown on the right, which is based on empirical investigations by Deutsche Telekom.

The curves were obtained by averaging over a large number of measured lines of one kilometer length in the frequency range up to $\text{30 MHz}$. One can see:

• The attenuation coefficient  $α(f)$  increases approximately proportionally with the square root of the frequency and decreases with increasing conductor diameter  $d$ .
• The attenuation function  $a(f)$  increases linearly with cable length  $l$ :

$$a(f) = α(f) · l.$$

Note the difference between

• "$a$" (for the attenuation function) and
• "$alpha$" (for the attenuation coefficient, with respect to length).

For the line diameter  $\text{0.4 mm}$  was given in  [PW95]  an empirical approximation formula for the attenuation coefficient given:

$$\alpha(f) = \left [ 5.1 + 14.3 \cdot \left (\frac{f}{\rm 1\,MHz}\right )^{0.59} \right ] \frac{\rm dB}{\rm km} \hspace{0.05cm}.$$

Evaluating this equation, the following exemplary values can be given:

• The attenuation  $a(f)$  of a balanced copper wire of length  $l = 1 \ \rm km$  with diameter  $0.4 \ \rm mm$  is slightly more than  $60\ \rm dB$ for signal frequency  $10\ \rm MHz$ .
• At twice the frequency  $(20 \ \rm MHz)$  the attenuation value increases to over  $90 \ \rm dB$. It can be seen that the attenuation does not increase exactly with the root of the frequency, as would be the case if the skin effect were considered alone, since several other effects also contribute to the attenuation.
• If the cable length is doubled to  $l = 2 \ \rm km$  the attenuation reaches a value of more than  $120 \ \rm dB$  $($at  $10 \ \rm MHz)$, which corresponds to an amplitude attenuation factor smaller than  $10^{-6}$ .
• Due to the frequency dependence of  $α(f)$  and  $β(f)$  both  intersymbol interference  $\rm (ISI)$  and  inter–carrier–interference  $\rm (ICI)$ occur. Suitable equalization must therefore be provided for xDSL.

In the chapter  "Properties of balanced copper pairs"  of the book "Linear Time-Invariant Systems" this topic is treated in detail. We refer to the two interactive applets  "Attenuation of copper cables"  and  "Time behavior of copper cables".

Noise during transmission

Every message system is affected by noise, which usually results primarily from thermal resistance noise. In addition, for a two-wire line, there are:

• Reflections:   The counter-propagating wave increases the attenuation of a pair of lines, which is taken into account in the  "operational attenuation"  of the line. To prevent such reflection, the terminating resistor  $Z_{\rm E}(f)$  would have to be chosen identical to the (complex and frequency-dependent) characteristic impedance  $Z_{\rm W}(f)$  . This is difficult in practice. Therefore, the terminating resistors are chosen to be real and constant, and the resulting reflections are combated - if possible - by technical means.
• Crosstalk:   This is dominant interference in conducted transmission. Crosstalk occurs when inductive and capacitive couplings between adjacent cores of a cable bundle cause mutual interference during signal transmission.

On the emergence of crosstalk

Crosstalk is divided into two types (see graphic):

• Near End Crosstalk  (NEXT): The interfering transmitter and the interfered receiver are on the same side of the cable.
• Far End Crosstalk  (FEXT): The interfering transmitter and the interfered receiver are on opposite sides of the cable.

Far-end crosstalk decreases sharply with increasing cable length due to attenuation, so that near-end crosstalk is dominant even with DSL.

$\text{Conclusion:}$  To summarize:

• As frequency increases and spacing between pairs of conductors decreases - as within a star quad - near-end crosstalk increases. It is less critical if the conductors are in different basic bundles.
• Depending on the stranding technique used, the shielding and the manufacturing accuracy of the cable, this effect occurs to varying degrees. The cable length, on the other hand, does not play a role in near-end crosstalk:   The own transmitter is not attenuated by the cable.
• Crosstalk can be significantly reduced by clever assignment, for example by assigning different services to adjacent pairs, using different frequency bands with as little overlap as possible.

Signal–to–noise ratio, range and transmission rate

To evaluate the quality of a transmission system, the signal-to-noise ratio (SNR) is usually used before the decision maker. This is also a measure of the expected bit error rate (BER).

• Signal and noise in the same frequency band reduce the SNR and lead to a higher bit error rate or - for a given bit error rate - to a lower transmission rate.
• The relationships between transmit power, channel quality (cable attenuation and interference power Korrektur ( noise power?) ) and achievable transmission rate can be illustrated very well by Shannon's channel capacity formula:

$$C \left [ \frac{\rm bit}{\rm Symbol} \right ] = \frac {1}{2} \cdot \log_2 \left ( 1 + \frac{P_{\rm E}}{P_{\rm N}} \right )= \frac {1}{2} \cdot \log_2 \left ( 1 + \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{P_{\rm N}} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

The  channel capacity  $C$  denotes the maximum transmission bit rate at which transmission is possible under ideal conditions (among others, the best possible coding with infinite block length)   ⇒   channel coding theorem. For more details, see the fourth main chapter Continuous-Value Information Theory  of the book  "Information Theory".

We assume that the bandwidth is fixed by the xDSL variant and that near-end crosstalk is the dominant interference. Then the transmission rate can be improved by the following measures:

• For a given transmit power  $P_{\rm S}$  and a given medium (for example:   balanced copper pairs with 0.4 mm diameter), the receive power that can be used for demodulation  $P_{\rm E}$  is increased only by a shorter line length.
• One reduces the interference power  $P_{\rm N}$, which for a given bandwidth  $B$  would be achieved by increased crosstalk attenuation, which in turn also depends on the transmission method on the adjacent line pairs.
• Increasing the transmit power  $P_{\rm S}$  would not be effective here, since a larger transmit power would at the same time have an unfavorable effect on the crosstalk. This measure would only be successful for an AWGN channel  (example:  coaxial cable).

This listing shows that with xDSL there is a direct correlation between range (line length), transmission rate and the transmission method used. From the following graph, which refers to measurements with 1-DA xDSL methods and 0.4mm copper cables in test systems with realistic interference conditions, one can clearly see these dependencies.

Range and total bit rate for ADSL and VDSL

$\text{Example 2:}$  The graph shows

• the range (maximum cable length)  $l_{\rm max}$  and
• the total transmission rate  $R_{\rm ges}$  of upstream (first indication)
  and downstream (second indication).

for some ADSL and VDSL variants.

Die Gesamtübertragungsrate liegt bei den betrachteten Systemen zwischen  $2.2 \ \rm Mbit/s$  und  $53\ \rm Mbit/s$. Die Reichweite bezieht sich hier auf eine Kupferdoppelader mit 0.4 mm Durchmesser.

Die Tendenz der Messwerte ist in dieser Grafik als durchgezogene (blaue) Kurve eingezeichnet und kann als grobe Näherung folgendermaßen formuliert werden:

$$l_{\rm max}\,{\rm \big [in}\,\,{\rm km \big ] } = \frac {20}{4 + R_{\rm ges}\,{\rm \big [in}\,\,{\rm Mbit/s \big ] } } \hspace{0.05cm}.$$

Man erkennt, dass sich die Reichweite aller derzeitigen Systeme (etwa zwischen einem halben und dreieinhalb Kilometer Leitungslänge) von dieser Faustformel um maximal $±25\%$ unterscheiden (gestrichelte Kurven).

$\text{Beispiel 3:}$  Im unteren Diagramm sind die Gesamtdatenübertragungsraten von ADSL2+ und VDSL(2) als Funktion der Leitungslänge dargestellt, wobei sich die (unterschiedlich) roten Kurven auf den Downstream und die beiden blauen Kuvren auf den Upstream beziehen. Zugrunde liegt ein „worst-case”–Störszenario mit folgenden Randbedingungen:

Übertragungsraten und Kabellängen bei ADSL2+ und VDSL(2)

• Kabelbündel mit 50 Kupferdoppeladern (0.4 mm Durchmesser), PE–isoliert,
• Ziel–Symbolfehlerrate $10^{–7}, 6 \ \text{dB}$ Margin (Reserve–SNR, um Ziel–Datenrate zu erreichen),
• gleichzeitiger Betrieb folgender Übertragungsverfahren:
  • 25 mal ADSL2+ über ISDN,
  • 14 mal ISDN, viermal SHDSL (1 Mbit/s),
  • je fünfmal SHDSL (2 Mbit/s) und VDSL2 Bandplan 998, sowie
  • zweimal HDSL.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Bei kurzen Leitungslängen sind die erzielbaren Übertragungsraten bei VDSL(2) deutlich höher als bei ADSL2+.
• Ab einer Leitungslänge von etwa 1800 Meter ist dagegen ADSL2+ deutlich besser als VDSL(2).
• Dies ist darauf zurückzuführen, dass VDSL(2) in den unteren Frequenzbändern mit deutlich niedrigerer Sendeleistung arbeitet, um benachbarte Übertragungssysteme weniger zu stören.
• Mit zunehmender Leitungslänge werden die frequenzmäßig höher angesiedelten Subkanäle wegen der zunehmenden Dämpfung zur Datenübertragung unbrauchbar, was den Absturz der Datenrate erklärt.

DSL–Fehlerkorrekturmaßnahmen im Überblick

Um die Bitfehlerrate der xDSL–Systeme zu senken, wurden in den Spezifikationen eine Reihe von Verfahren geschickt miteinander kombiniert, um den zwei häufigsten Fehlerursachen entgegen zu wirken:

• Übertragungsfehler aufgrund von Impuls– und Nebensprechstörungen auf der Leitung:  
  Besonders bei hohen Datenraten liegen benachbarte Symbole im QAM–Signalraum eng beieinander, was die Fehlerwahrscheinlichkeit signifikant erhöht.
• Abschneiden von Signalspitzen aufgrund mangelnder Dynamik der Sendeverstärker (Clipping):  
  Dieses Abschneiden entspricht ebenfalls einer Impulsstörung und wirkt als zusätzliche farbige Rauschbelastung, die das SNR merkbar verschlechtert.

Vollständiges DSL/DMT-System

Beim DMT–Verfahren sind für Fehlerkorrekturmaßnahmen in den Signalprozessoren zwei Pfade realisiert. Die Bitzuordnung zu diesen Pfaden übernimmt ein Multiplexer mit Sync–Kontrolle.

• Beim  Fast–Path  setzt man auf geringe Wartezeiten (Latency).
• Beim  Interleaved–Path  stehen niedrige Bitfehlerraten im Vordergrund. Hier ist die Latenz aufgrund des Einsatzes eines Interleavers größer.
• Eine duale Latenz bedeutet die gleichzeitige Verwendung beider Pfade. Die ADSL Transceiver Units  müssen zumindest im Downstream eine duale Latenz unterstützen.

Auf den restlichen Kapitelseiten werden für beide Pfade die Fehlerschutzverfahren erörtert.
(Bei anderen Modulationsverfahren sind die beschriebenen Fehlerschutzmaßnahmen prinzipiell gleich, im Detail jedoch verschieden).

• Die Übertragungskette beginnt mit dem  Cyclic Redundancy Check  (CRC), der eine Prüfsumme über einen Überrahmen bildet, die beim Empfänger ausgewertet wird.
• Aufgabe des Scramblers ist es, lange Folgen von Einsen und Nullen umzuwandeln, um häufigere Signalwechsel zu erzeugen.
• Danach folgt die Vorwärtsfehlerkorrektur  (Forward Error Correction, FEC), um empfangsseitig Bytefehler erkennen und eventuell sogar korrigieren zu können.
  Standard ist bei xDSL eine Reed–Solomon–Codierung, oft kommt zusätzlich die Trellis–Codierung zum Einsatz.
• Aufgabe des  Interleavers  ist es, die empfangenen Codeworte über einen größeren Zeitbereich zu verteilen, um eventuell auftretende Übertragungsstörungen ebenfalls auf mehrere Codeworte zu verteilen und damit die Chancen einer Rekonstruktion zu erhöhen.
• Nach dem Durchlaufen der einzelnen Bitsicherungsverfahren werden die Datenströme von Fast– und Interleaved–Pfad im  Tone Ordering  zusammengeführt und bearbeitet. Hier werden auch die Bits den Trägerfrequenzen (Bins) zugewiesen.
• Außerdem werden im DMT-Sender nach der IDFT ein Schutzintervall und ein zyklisches Präfix eingefügt, das im DMT–Empfänger wieder entfernt wird. Dies stellt bei verzerrendem Kanal eine sehr einfache Realisierung der Signalentzerrung im Frequenzbereich dar.

Cyclic Redundancy Check

Die  zyklische Redundanzprüfung  (englisch:  Cyclic Redundancy Check, CRC) ist ein einfaches Verfahren auf Bitebene, um die Unversehrtheit der Daten bei der Übertragung oder der Duplizierung zu überprüfen. Das CRC–Prinzip wurde bereits im  ISDN–Kapitel  im Detail beschrieben.

Hier folgt eine kurze Zusammenfassung, wobei die bei den xDSL–Spezifikationen verwendete Nomenklatur verwendet wird:

• Vor der Datenübertragung wird für einen Datenblock  $D(x)$  mit  $k$  Bit   ⇒   $d_0$, ... , $d_{k-1}$  ein Prüfwert  $C(x)$  mit acht Bit gebildet und an die ursprüngliche Datenfolge angehängt. Die Variable  $x$  bezeichnet hierbei einen Verzögerungsoperator.
• $C(x)$  ergibt sich als der Divisionsrest der Polynomdivision von  $D(x)$  durch das Prüfpolynom  $G(x)$. Diese Operation wird durch Modulo–2–Gleichungen beschrieben:

$$D(x) = d_0 \cdot x^{k-1} + d_1 \cdot x^{k-2} + ... + d_{k-2} \cdot x + d_{k-1}\hspace{0.05cm},$$

$$G(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x^2 + 1 \hspace{0.05cm},$$

$$C(x) = D(x) \cdot x^8 \,\,{\rm mod }\,\, G(x) = c_0 \cdot x^7 + c_1 \cdot x^6 + \text{...} + c_6 \cdot x + c_7 \hspace{0.05cm}.$$

• Beim Empfänger wird nach dem gleichen Verfahren erneut ein CRC–Wert gebildet und und mit dem übermittelten Prüfwert verglichen. Sind beide ungleich, so liegt mindestens ein Bitfehler vor.
• Auf diese Weise können Bitfehler erkannt werden, wenn diese nicht zu gehäuft sind. In der ADSL–Praxis ist das CRC–Verfahren ausreichend zur Bitfehlererkennung.

CRC–Prüfwertbildung bei ADSL

Die Grafik zeigt eine beispielhafte Schaltung – realisierbar in Hardware oder Software – zur CRC–Prüfwertbildung mit dem für ADSL spezifizierten Generatorpolynom  $G(x)$:

• Der zu prüfende Datenblock wird von links in die Schaltung eingebracht, der Ausgang rückgekoppelt und mit den Stellen des Generatorpolynoms  $G(x)$  exklusiv–oder–verknüpft. Nach Durchlauf des gesamten Datenblocks enthalten die Speicherelemente den CRC–Prüfwert  $C(x)$.
• Anzumerken ist in diesem Zusammenhang, dass bei ADSL die Daten in so genannte Superframes (zu je 68 Rahmen) aufgespaltet werden. Jeder Rahmen beinhaltet Daten aus dem Fast– und Interleaved–Pfad. Zusätzlich werden Verwaltungs– und Synchronisations–Bits in spezifischen Rahmen übertragen.
• Pro ADSL–Superframe und pro Pfad werden acht CRC–Bits gebildet und als  Fast Byte  bzw.  Sync Byte  als erstes Byte von Rahmen  $0$  des nächsten Superframes übertragen.

Scrambler und De–Scrambler

Aufgabe des Scramblers ist es, lange Folgen von Einsen und Nullen so umzuwandeln, dass häufige Symbolwechsel erfolgen.

• Eine mögliche Realisierung stellt eine Schieberegisterschaltung mit rückgeführten Exklusiv–Oder–verknüpften Zweigen dar.
• Um beim Empfänger die ursprüngliche Binärfolge herzustellen, muss dort ein spiegelbildlich selbstsynchronisierender De–Scrambler verwendet werden.

Die Grafik zeigt links ein Beispiel eines bei DSL tatsächlich eingesetzten Scramblers mit 23 Speicherelementen. Rechts ist der zugehörige De–Scrambler dargestellt.

Scrambler und De–Scrambler bei DSL/DMT-System

Das sendeseitige Schieberegister wird mit einem beliebigen Startwert geladen, der keinen weiteren Einfluss auf die Funktion der Schaltung hat. Bezeichnet man mit  $e_n$  die Bits der binären Eingangsfolge und mit  $a_n$  die Bits am Ausgang, so gilt folgender Zusammenhang:

$$a_n = e_n \oplus a_{n- 18}\oplus a_{n- 23}\hspace{0.05cm}.$$

Im Beispiel besteht die Eingangsfolge aus 80 aufeinander folgenden Einsen (linke obere graue Hinterlegung), die bitweise in den Scrambler geschoben werden. Die Ausgangsbitfolge weist dann – wie gewünscht – häufige Null–Eins–Wechsel auf.

Der De–Scrambler (rechts dargestellt) kann zu jedem beliebigen Zeitpunkt gestartet werden. Am Ausgangsdatenstrom erkennt man,

• dass der De–Scramber zunächst einige (bis zu maximal 23) fehlerhafte Bits ausgibt,
• sich dann aber automatisch synchronisiert und
• anschließend die ursprüngliche Bitfolge (nur Einsen) fehlerfrei zurückgewinnt.

Es ist zu beachten, dass für dieses Beispiel zwar die Bitübertragung als fehlerfrei angenommen wurde, aber auch der De–Scrambler mit einem beliebigen Startwert geladen werden kann, was bedeutet, dass zwischen beiden Schaltungen keine Synchronisierung erforderlich ist.

Vorwärtsfehlerkorrektur

Zur Vorwärtsfehlerkorrektur (Forward Error Correction,  FEC) wird bei allen xDSL–Varianten ein  Reed–Solomon–Code  (RS–Codierung) verwendet. Bei manchen Systemen – beispielsweise bei ADSL der Deutschen Telekom – wurde als zusätzliche Fehlerschutzmaßnahme Trellis Code Modulation  (TCM) verbindlich festgelegt, auch wenn diese von den internationalen Gremien nur als „optional” spezifiziert wurde.

Beide Verfahren werden im Buch  Kanalcodierung  ausführlich behandelt. Hier folgt eine kurze Zusammenfassung der Reed–Solomon–Codierung im Hinblick auf die Anwendung bei DSL:

• Mit der Reed–Solomon–Codierung werden Redundanz–Bytes für fest vereinbarte Stützstellen des Nutzdatenpolynoms generiert. Bei systematischer RS–Codierung wird ähnlich dem CRC–Verfahren ein Prüfwert berechnet und an den zu schützenden Datenblock angehängt.
• Die Daten werden jedoch nicht mehr bitweise, sondern byteweise verarbeitet. Demzufolge werden arithmetische Operationen nicht mehr im Galois–Feld  $\rm GF( 2 )$  ausgeführt, sondern in  $\rm GF(2^8)$.

Die Reed–Solomon–Prüfziffer lässt sich auch als Divisionsrest einer Polynomdivision ermitteln, bei xDSL mit folgenden Parametern:

• Anzahl  $S$  der zu überwachenden DMT–Symbole pro Reed–Solomon–Codewort  $(S \ge 1$  für den Fast–Puffer,  $S =2^0$, ... , $2^4$  für den Interleaved–Puffer$)$,
• Anzahl  $K$  der Nutzdatenbytes in den  $S$  DMT–Symbolen, definiert als Polynom  $B(x)$  vom Grad  $K$, wobei das „B” auf Bytes hinweist,
• Anzahl  $R$  der RS–Prüfbytes  $($gerade Zahl zwischen $2$ bis $16)$ pro Prüfwert ("Fast" oder "Interleaved"),
• Summe  $N = K + R$  der Nutzdatenbytes und Prüfbytes des Reed–Solomon–Codewortes.

Die Besonderheiten der Reed–Solomon–Codierung bei xDSL werden hier ohne weitere Kommentierung angegeben:

• Bei xDSL muss die Anzahl  $R$  der Prüfbytes ein ganzzahliges Vielfaches der Symbolanzahl  $S$  sein, damit diese im Nutzdatenpolynom gleichmäßig verteilt werden können.
• Die so genannten  MDS–Codes  (Maximum Distance Separable) – eine Unterklasse der RS–Codes – erlauben die Korrektur von  $R/2$  verfälschten Nutzdatenbytes.
• Vom gewählten Reed–Solomon–Code für die DMT–Systeme ergibt sich als Einschränkung eine maximale Codewortlänge von  $2^8–1 = 255$  Byte entsprechend $2040$ Bit.
• Die Redundanz der Reed–Solomon–Codes kann bei ungünstigen Codeparametern eine beachtliche Datenmenge erzeugen, wodurch die Nettoübertragungsrate erheblich geschmälert wird.
• Es empfiehlt sich eine sinnvolle Aufteilung der Datenübertragungsmenge  (Bruttodatenrate)  in Nutzdaten  (Nettodatenrate, Payload)  und Fehlerschutzdaten  (Overhead).
• Die Reed–Solomon–Codierung erzielt einen hohen Codiergewinn. Ein System ohne Codierung müsste für die gleiche Bitfehlerrate ein um  $3 \ \rm dB$ größeres SNR aufweisen.
• Durch die  Trellis–codierte Modulation  (TCM) in Verbindung mit den anderen Fehlerschutzmaßnahmen fällt der Codiergewinnn höchst unterschiedlich aus; er bewegt sich zwischen  $0 \ \rm dB$  und  $6 \ \rm dB$.

Interleaving und De–Interleaving

Gemeinsame Aufgabe von Interleaver (beim Sender) und De–Interleaver (beim Empfänger) ist es, die empfangenen Reed–Solomon–Codewörter über einen größeren Zeitbereich zu verteilen, um eventuell auftretende Übertragungsfehler auf mehrere Codeworte zu verteilen und damit die Chance einer korrekten Decodierung zu erhöhen.

Das Interleaving ist durch den Parameter $D$ ("Tiefe") charakterisiert, der Werte zwischen  $2^0$  und  $2^9$  annehmen kann.

Zum DSL–Interleaving mit  $D = 2$

$\text{Beispiel 4:}$  Die Grafik verdeutlicht das Prinzip anhand der Reed–Solomon–Codeworte  $A$,  $B$,  $C$  mit jeweils fünf Byte sowie der Interleaver–Tiefe  $D = 2$.

Jedes Byte  $B_i$  des mittleren Reed–Solomon–Codewortes  $B$  wird um  $V_i = (D - 1) · i$  Bytes verzögert und es werden zwei Interleaver–Blöcke gebildet:

• Im ersten Block sind die Bytes  $B_0$,  $B_1$  und  $B_2$  zusammen mit den Bytes  $A_3$  und  $A_4$  des vorherigen Codewortes zusammengefasst.
• Der zweite Block beinhaltet die Bytes  $B_3$  und  $B_4$  zusammen mit den Bytes  $C_0$,  $C_1$  und  $C_2$  des nachfolgenden Codewortes.

Diese "Verwürfelung" hat folgende Vorteile (vorausgesetzt,  $D$ ist hinreichend groß):

• Die Fehlerkorrekturmöglichkeiten des Reed–Solomon–Codes werden verbessert.
• Die Nutzdatenrate bleibt gleich, wird also nicht vermindert (Redundanzfreiheit).
• Bei Störungen müssen nicht ganze Pakete auf Protokollebene wiederholt werden.

Nachteilig ist, dass es mit zunehmender Interleaver–Tiefe  $D$  zu merklichen Verzögerungszeiten (in der Größenordnung von Millisekunden) kommen kann, was für Echtzeitanwendungen große Probleme bereitet. Interleaving mit geringer Tiefe ist allerdings nur bei genügend hohem Signal–zu–Rausch–Abstand sinnvoll.

$\text{Beispiel 5:}$  Ein Beispiel für die Vorteile von Interleaver/De–Interleaver bei Vorhandensein von Bündelfehlern zeigt die untere Grafik:

• In der ersten Zeile sind die Bytefolgen nach der Reed–Solomon–Codierung dargestellt, wobei jedes Codeworte beispielhaft aus sieben Bytes besteht.
• In der mittleren Zeile werden die Datenbytes durch das Interleaving mit  $D = 3$  verschoben, sodass zwischen  $C_i$  und  $C_{i+1}$  zwei fremde Bytes liegen und das Codewort auf drei Blöcke verteilt wird.
• Es sei nun angenommen, dass während der Übertragung eine Impulsstörung drei aufeinander folgende Bytes in einem einzigen Datenblock verfälscht wurden.
• Nach dem De–Interleaver ist die ursprüngliche Bytefolge der Reed–Solomon–Codewörter wieder hergestellt, wobei die drei fehlerhaften Bytes auf drei unabhängige Codewörter verteilt sind.
• Wurden bei der Reed–Solomon–Codierung jeweils zwei Redundanzbytes eingefügt, so lassen sich die nun separierten Byteverfälschungen vollständig korrigieren.

Zum DSL–Interleaving mit  $D = 3$

Gain Scaling und Tone Ordering

Eine besonders vorteilhafte Eigenschaft von DMT ist die Möglichkeit, die Subkanäle (englisch:  Bins) individuell an die vorliegende Kanalcharakteristik anzupassen und eventuell "Bins" mit ungünstigem SNR ganz abzuschalten. Dabei wird wie folgt vorgegangen:

Bit-Bin-Zuordnung anhand des SNR

• Vor dem Start der Übertragung – und eventuell auch dynamisch während des Betriebs – wird vom DMT–Modem für jeden "Bin" die Kanalcharakteristik gemessen und entsprechend dem SNR individuell die maximale Übertragungsrate festgelegt (siehe Grafik).
• Während der Initialisierung tauschen die  ADSL Transceiver Units  Bin–Informationen aus, zum Beispiel die jeweiligen „Bits/Bin” und die erforderliche Sendeleistung (Gain). Dabei sendet die  $\rm ATU–C$  Informationen über den Upstream und die  $\rm ATU–R$  Informationen über den Downstream.
• Diese Mitteilung hat die Form  $\{b_i, g_i\}$  wobei  $b_i$  (4 Bit) die Größe der Konstellation angibt. Für den Upstream gilt für den Index  $i = 1$, ... , $31$  und für den Downstream  $i = 1$, ... , $255$.
• Der Gain  $g_i$  ist eine Festkommazahl mit zwölf Bit. Beispielsweise steht  $g_i = 001.010000000$ für den Dezimalwert  $1 + 1/4 =1.25$. Dieser gibt an, dass die Signalleistung von Kanal  $i$  um  $1.94 \ \rm dB$  höher sein muss als die Leistung des während der Kanalanalyze gesendeten Testsignals.

Beim gleichzeitigen Betrieb des Fast– und des Interleaved–Pfades (siehe  Grafik  auf der Seite "DSL–Fehlerkorrekturmaßnahmen") kann durch eine optimierte Trägerfrequenzbelegung (Tone Ordering) die Bitfehlerrate weiter gesenkt werden. Hintergrund dieser Maßnahme ist wieder das Clipping  (Abschneiden von Spannungsspitzen), wodurch das SNR insgesamt verschlechtert wird. Dieses Verfahren beruht auf folgenden Regeln:

• Bins mit dichter Konstellation (viele Bits/Bin   ⇒   größere Verfälschungswahrscheinlichkeit) werden dem Interleaved–Zweig zugeordnet, da dieser durch den zusätzlichen Interleaver per se zuverlässiger ist. Entsprechend werden die Subkanäle mit niederwertiger Belegung (wenige Bits/Bin) für den Fast–Datenpuffer reserviert.
• Gesendet werden dann neue Tabellen für Upstream und Downstream, in denen die Bins nicht mehr nach dem Index geordnet sind, sondern entsprechend den Bits/Bin–Verhältnissen. Anhand dieser neuen Tabelle ist es für die  $\rm ATU–C$  bzw.  $\rm ATU–R$  möglich, die Bit–Extraktion erfolgreich durchzuführen.

Einfügen von Guard–Intervall und zyklischem Präfix

Im Kapitel  Realisierung von OFDM–Systemen  des Buches "Modulationsverfahren" wurde bereits gezeigt, dass durch die Einfügung eines Schutzabstandes – man bezeichnet diesen auch als  Guard–Intervall  oder  Guard–Lücke – die Bitfehlerrate bei Vorhandensein von linearen Kanalverzerrungen entscheidend verbessert werden kann.

Wir gehen davon aus, dass sich die Kabelimpulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  über die Zeitdauer  $T_{\rm K}$  erstreckt. Ideal wäre  $h_{\rm K}(t) = δ(t)$  und dementsprechend eine unendlich kurze Ausdehnung:   $T_{\rm K} = 0$. Bei verzerrendem Kanal  $(T_{\rm K} > 0 )$  gilt:

• Durch Einfügung eines Guard–Intervalls  der Dauer  $T_{\rm G}$  lassen sich Intersymbolinterferenzen  zwischen den einzelnen DSL–Rahmen vermeiden, solange  $T_{\rm G}$ ≥ $T_{\rm K}$  gilt. Diese Maßnahme führt allerdings zu einem Ratenverlust um den Faktor  $T/(T + T_{\rm G})$  mit der Symboldauer  $T = {1}/{f_0}$.
• Damit gibt es aber immer noch Inter–Carrier–Interferenzen  zwischen den einzelnen Subträgern innerhalb des gleichen Rahmens, das heißt, die  DMT–Einzelspektren  sind nicht mehr  $\rm si$–förmig und es kommt zu einer De–Orthogonalisierung.
• Durch ein  zyklisches Präfix  lässt sich auch dieser störende Effekt vermeiden. Dabei erweitert man den Sendevektor  $\mathbf{s}$  nach vorne um die letzten  $L$  Abtastwerte des IDFT–Ausgangs, wobei der Minimalwert für $L$ durch die Dauer  $T_{\rm K}$  der Kabelimpulsantwort vorgegeben ist.

$\text{Beispiel 6:}$  Die Grafik zeigt diese Maßnahme beim DSL/DMT–Verfahren, für das der Parameter  $L = 32$  festgelegt wurde.

DMT–Sendesignal mit zyklischem Präfix

• Die Abtastwerte  $s_{480}$ , ... , $s_{511}$  werden als Präfix  $(s_{-32}$ , ... , $s_{-1})$  zum IDFT–Ausgangsvektor  $(s_0$ , ... , $s_{511})$  hinzugefügt.
• Das Sendesignal  $s(t)$  hat nun statt der Symboldauer  $T ≈ 232 \ {\rm µ s}$  die resultierende Dauer  $T + T_{\rm G} = 1.0625 \cdot T ≈ 246 \ {\rm µ s}$. Dadurch wird die Rate um den Faktor  $0.94$  verringert.
• Bei der empfangsseitigen Auswertung beschränkt man sich auf den Zeitbereich von  $0$  bis  $T$. In diesem Zeitintervall ist der störende Einfluss der Impulsantwort bereits abgeklungen und die Subkanäle sind – ebenso wie bei idealem Kanal – zueinander orthogonal.
• Die Abtastwerte  $s_{-32}$ , ... , $s_{-1}$  werden am Empfänger verworfen – eine recht einfache Realisierung der Signalentzerrung.

Die letzte Grafik dieses Kapitels zeigt das gesamte DMT–Übertragungssystem, allerdings ohne die vorne beschriebenen  Fehlerschutzmaßnahmen. Man erkennt:

DMT–System mit zyklischem Präfix

• Im Block „Addiere zyklisches Präfix” werden die Abtastwerte  $s_{480}$, ... , $s_{511}$  als  $s_{-32}$, ... , $s_{-1}$  hinzugefügt. Das Sendesignal  $s(t)$  hat somit den im  $\text{Beispiel 6}$  gezeigten Verlauf.
• Das Empfangsignal  $r(t)$  ergibt sich aus der Faltung von  $s(t)$  mit  $h_{\rm K}(t)$. Nach A/D–Wandlung und Entfernen des zyklischen Präfix erhält man die Eingangswerte  $r_0$, ... , $ r_{511}$  für die DFT.
• Die (komplexen) Ausgangswerte  $D_k\hspace{0.01cm}'$  der DFT hängen nur vom jeweiligen (komplexen) Datenwert  $D_k$  ab. Unabhängig von anderen Daten  $D_κ (κ ≠ k)$  gilt mit dem Rauschwert  $n_k\hspace{0.01cm}'$:

$${D}_k\hspace{0.01cm}' = \alpha_k \cdot {D}_k + {n}_k\hspace{0.01cm}', \hspace{0.2cm}\alpha_k = H_{\rm K}( f = f_k) \hspace{0.05cm}. $$

• Jeder Träger  $D_k$  wird durch einen eigenen (komplexen) Faktor  $α_k$, der nur vom Kanal abhängt, in seiner Amplitude und Phase verändert. Der Frequenzbereichsentzerrer hat nur die Aufgabe, den Koeffizienten  $D_k\hspace{0.01cm}'$  mit dem inversen Wert  ${1}/{α_k}$  zu multiplizieren. Man erhält schließlich:

$$ \hat{D}_k = {D}_k + {n}_k \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$ 

• Diese einfache Realisierungsmöglichkeit der vollständigen Entzerrung des stark verzerrenden Kabelfrequenzgangs war eines der entscheidenden Kriterien, dass sich bei  $\rm xDSL$  das  $\rm DMT$–Verfahren gegenüber  $\rm QAM$  und  $\rm CAP$  durchgesetzt hat.
• Meist findet direkt nach der A/D–Wandlung zusätzlich noch eine Vorentzerrung im Zeitbereich statt, um auch die Intersymbolinterferenzen zwischen benachbarten Rahmen zu vermeiden.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.5: DSL–Fehlersicherungsmaßnahmen

Aufgabe 2.5Z: Reichweite und Bitrate bei ADSL

Aufgabe 2.6: Zyklisches Präfix