Linear and Time Invariant Systems/Laplace Transform and p-Transfer Function

1. Linear and Time Invariant Systems
2. Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme
3. Laplace Transform and p-Transfer Function

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Considered system model

We consider a linear time-invariant system with the impulse response  $h(t)$, to whose input the signal  $x(t)$  is applied.  The output signal  $y(t)$  is then obtained as the convolution product  $x(t) ∗ h(t)$.

General (also non-causal) and causal system model

For non-causal systems and signals, the  first Fourier integral  must always be applied to describe the spectral behavior, and the following is valid for the output spectrum:

$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$

The Fourier integral also continues to be valid for causal systems and signals, i.e. under the assumption

$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{for}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{for}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$

In this case, however, there are significant advantages in applying the Laplace transformation while taking into account certain restrictions:

• The systems treated in this way are always realizable by a circuit.  The developer is not tempted to offer unrealistic solutions.
• The Laplace transform  $X_{\rm L}(p)$  is always a real function of the spectral variable  $p$.  The fact that this variable is derived from the multiplication of the physical angular frequency  $ω = 2πf$  by the imaginary unit  $\rm j$  according to  $p = {\rm j} · 2πf$  does not matter for the user.
• The implicit condition  $x(t) = 0$  for  $t < 0$  specifically allows for simpler analysis of transient behavior after switching-on processes than with the Fourier integral.

Definition of the Laplace transformation

Starting from the  first Fourier integral

$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$

the Laplace transformation is obtained directly using the formal substitution  $p = {\rm j} · 2πf$  for a causal time function

$$x(t) = 0 \ \ \text{for} \ \ t < 0.$$

$\text{Definition:}$  The  Laplace transform  of a causal time function  $x(t)$  is:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm briefly}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$

The relationship between the Laplace transform  $X_{\rm L}(p)$  and the physical spectrum  $X(f)$  is often given as follows:

$$X(f) = X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$

• However, if the signal  $x(t)$  has periodic components and thus the spectral function  $X(f)$  contains Dirac functions, then this equation is not applicable.
• In this case,  $p = α + {\rm j} · 2πf$  must be applied and then the limit  $α → 0$  must be formed.

$\text{Example 1:}$  We assume the unilaterally and exponentially decreasing time function corresponding to the  sketch  in $\text{Example 1}$ of the chapter "Conclusions from the Allocation Theorem":

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5 \\ {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{for} } \\ {\rm{for} } \\ {\rm{for} } \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0\hspace{0.05cm},} \\ { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

Thus, the Laplace transform is:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-t/T} \cdot {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.08cm}t}}\hspace{0.15cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$

Considering  $p = {\rm j} · 2πf$,  the conventional spectral function with respect to $f$ is obtained:

$$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$

In contrast, if we consider the frequency response of a low-pass filter of first-order whose impulse response  $h(t)$  differs from the above time function by the factor  $1/T$ , then the following holds for the Laplace transform and the Fourier transform, respectively:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$

Often, as in this equation, the 3dB cut-off frequency  $f_{\rm G} = 1/(2πT). <div style="clear:both;"> </div> </div> is used instead of the parameter  $T$ . =='"`UNIQ--h-2--QINU`"'Some important Laplace correspondences== <br> Some important Laplace correspondences are compiled subsequently.  All time signals  $x(t)$  considered here are assumed to be dimensionless.  For this reason,  $X_{\rm L}(p)$  dann als Integral über die Zeit stets the unit "second". [[File:EN_LZI_T_3_2_S3.png |center|frame| Table with some Laplace transforms|class=fit]] *The Laplace transform of the  [[Signal_Representation/Special_Cases_of_Impulse_Signals#Diracimpuls|Dirac function]]  $δ(t)$  is  $X_{\rm L}(p) = 1$  $($Diagramm $\rm A)$.  Durch Anwendung des  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Integrationssatz|Integrationssatzes]]  erhält man  $X_{\rm L}(p) = 1/p$  für die Sprungfunktion  $γ(t)$  $($Diagramm $\rm B)$ und aus dieser durch Multiplikation mit  $1/(pT)$  die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion  $x(t) = t/T$  für  $t > 0$  $($Diagramm $\rm C)$. *The  [[Signal_Representation/Special_Cases_of_Impulse_Signals#Rechteckimpuls|Rechteckfunktion]]  kann aus der Subtraktion zweier um  $T$  auseinanderliegender Sprungfunktionen  $γ(t)$  und  $γ(t – T)$  erzeugt werden, so dass sich nach dem  [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]  die Laplace–Transformierte  $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$  ergibt  $($Diagramm $\rm D)$. Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit  $1/(pT)$  deren Laplace–Transformierte  $($Diagramm $\rm E)$. *Die Exponentialfunktion  $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits auf der  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Definition_der_Laplace.E2.80.93Transformation|letzten Seite]]  betrachtet.  Mit dem Faktor  $1/T$  ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die  $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung mit der Zeitfunktion  $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm  $\rm G$). *Neben der kausalen  $\rm si$–Funktion  $($Diagramm $\rm H)$  sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion  $($Diagramme  $\rm I$  und  $\rm J)$  angegeben, die sich zu  $p/(p^2 + ω_0^2)$  bzw.  $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$  ergeben. Hierbei bezeichnet  $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$  die so genannte Kreisfrequenz. =='"`UNIQ--h-3--QINU`"'Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen== <br> Ein jedes  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|lineare zeitinvariante System]]  (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie *Widerständen  $(R)$, *Kapazitäten  $(C)$, *Induktivitäten  $(L)$  und *Verstärkerelementen realisiert werden kann, besitzt eine gebrochen–rationale  '''$p$–Übertragungsfunktion''': :'"`UNIQ-MathJax11-QINU`"' Alle Koeffizienten des Zählers   ⇒   $A_Z, \text{...} \ , A_0$  und des Nenners   ⇒   $B_N, \text{...} , B_0$  sind reell. Weiter bezeichnen mit *$Z$  den Grad des Zählerpolynoms  $Z(p)$, *$N$  den Grad des Nennerpolynoms  $N(p)$. <div class="bluebox"> $\text{Äquivalente Pol–Nullstellen–Darstellung:}$   Für die  $p$–Übertragungsfunktion kann auch geschieben werden: :'"`UNIQ-MathJax12-QINU`"' Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten: *$K = A_Z/B_N$  ist ein konstanter Faktor.   Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos. *Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$  Nullstellen  $p_{\rm o1},\text{...} \ , p_{\rm oZ}$  von  $H_{\rm L}(p)$. *Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  liefern die  $N$  Polstellen (oder kurz Pole). <div style="clear:both;"> </div> </div> Die Umformung ist eindeutig.  Dies erkennt man daran, dass die  $p$–Übertragungsfunktion gemäß der ersten Gleichung ebenfalls nur durch  $Z + N + 1$  freie Parameter bestimmt ist, da einer der Koeffizienten  $A_Z, \text{...} \ , A_0, B_N, \text{...} \ , B_0$  ohne Änderung des Quotienten auf  $1$  normiert werden kann. <div class="greybox"> $\text{Example 2:}$  Wir betrachten den gezeichneten Vierpol mit einer Induktivität  $L$  $($komplexer Widerstand  $pL)$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung eines Ohmschen Widerstandes  $R$  und einer Kapazität  $C$  mit dem komplexen Widerstand  $1/(pC)$. [[File:P_ID1759__LZI_T_3_2_S4_neu.png|center|frame|Betrachteter Vierpol und dazugehöriges Pol–Nullstellen–Diagramm|class=fit]] Damit lautet die  $p$–Übertragungsfunktion: :'"`UNIQ-MathJax13-QINU`"' Setzt man  $p = {\rm j} · 2πf$  ein, so erhält man die Fourier–Übertragungsfunktion (bzw. den Frequenzgang). Dividiert man in obiger Gleichung Zähler und Nenner durch  $LC$, so ergibt sich: :'"`UNIQ-MathJax14-QINU`"' Im rechten Gleichungsteil ist die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Notation angegeben.  Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich für  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25\ \rm µ H$  und  $C = 62.5 \ \rm nF$  folgende Werte: *die Konstante  $K = R/L = 2 · 10^6 \cdot 1/{\rm s}$, *die Nullstelle  $p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$ *die beiden Pole  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x2}$  als Lösung der Gleichung :'"`UNIQ-MathJax15-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax16-QINU`"' In der obigen Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben. *Die beiden Achsen bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen  $p$, jeweils normiert auf den Wert  $10^6 · \rm 1/s\; (= 1/µs)$. *Man erkennt die Nullstelle bei  $p_{\rm o} =\, –0.32$  als Kreis und die Polstellen bei  $p_{\rm x1} = \,–0.4$  und  $p_{\rm x2} = \,–1.6$  als Kreuze. <div style="clear:both;"> </div> </div> =='"`UNIQ--h-4--QINU`"'Eigenschaften der Pole und Nullstellen== <br> Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}(p)$  einer jeden realisierbaren Schaltung wird durch  $Z$  Nullstellen und  $N$  Pole zusammen mit einer Konstanten  $K$  vollständig beschrieben, wobei folgende Einschränkungen gelten: *Es gilt stets  $Z ≤ N$.  Mit  $Z > N$  wäre im Grenzfall für  $p → ∞$  (also für sehr hohe Frequenzen) auch die  $p$–Übertragungsfunktion "unendlich groß". *Die Nullstellen  $p_{\rm oi}$  und die Pole  $p_{ {\rm x}i}$  sind im allgemeinen komplex und weisen wie  $p$  die Einheit  $\rm 1/s$  auf. Gilt  $Z < N$, so besitzt auch die Konstante  $K$  eine Einheit. *Die Pole und Nullstellen können reell sein, wie im letzten Beispiel gezeigt.  Sind sie komplex, so treten immer zwei konjugiert–komplexe Polstellen bzw. zwei konjugiert–komplexe Nullstellen auf, da  $H_{\rm L}(p)$  stets eine reelle gebrochen–rationale Funktion darstellt. *Alle Pole liegen in der linken Halbebene oder auf der imaginären Achse (Grenzfall). Diese Eigenschaft ergibt sich aus der erforderlichen und vorausgesetzten Kausalität zusammen mit dem  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Hauptsatz der Funktionstheorie]], der im nächsten Kapitel angegeben wird. *Nullstellen können sowohl in der linken als auch in der rechten  $p$–Halbebene auftreten oder auch auf der imaginären Achse.  Ein Beispiel für Nullstellen in der rechten Halbebene findet man in der  [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]], die sich mit Allpässen beschäftigt. *Bei den so genannten ''Minimum–Phasen–Systemen''  sind in der rechten  $p$–Halbebene nicht nur Pole verboten, sondern auch Nullstellen.  Der Realteil aller Singularitäten ist hier nie positiv. Diese Eigenschaften werden nun an drei Beispielen verdeutlicht. <div class="greybox"> $\text{Example 3:}$  Ausgehend von der bereits im letzten Abschnitt betrachteten  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Pol.E2.80.93Nullstellen.E2.80.93Darstellung_von_Schaltungen|Vierpolschaltung]]  $(L$  im Längszweig,  $R$  und  $C$  im Querzweig$)$  können die charakteristischen Größen der Übertragungsfunktion wie folgt angegeben werden: :'"`UNIQ-MathJax17-QINU`"' Die Grafik zeigt drei verschiedene Diagramme mit unterschiedlichen Kapazitätswerten  $C$.  Es gilt stets  $R = 50 \ \rm Ω$  und  $L = 25 \ \rm µ H$.  Die Achsen sind auf die Variable  $A = R/(2L) = 10^6 · \rm 1/s$  normiert, und der konstante Faktor ist jeweils  $K = 2A = 2 · 10^6 · \rm 1/s.$ [[File:EN_LZI_T_3_2_S5_neu.png|center|frame|Lage der Nullstelle und der Pole für  $Z = 1$  und  $N = 2$|class=fit]] *Für  $B < A$  erhält man  '''zwei reelle Pole'''  und eine Nullstelle rechts von  $-A/2$.  Für  $C = 62.5 \ \rm nF$  ergibt sich (linkes Diagramm): :'"`UNIQ-MathJax18-QINU`"' *Für  $B > A$  ergeben sich  '''zwei konjugiert–komplexe Pole'''  und eine Nullstelle links von  $-A/2$.  Für  $C = 8 \ \rm nF$  (rechtes Diagramm): :'"`UNIQ-MathJax19-QINU`"' *Der Fall  $A = B$  führt zu  '''einer reellen doppelten Polstelle'''  und einer Nullstelle bei  $– A/2$.  Für  $C = 400 \ \rm nF$  (mittleres Diagramm): :'"`UNIQ-MathJax20-QINU`"' Die Impulsantworten  $h(t)$  ergeben sich entsprechend dem folgenden Kapitel  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]]  wie folgt: *Bei der linken Konstellation ist  $h(t)$  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace–Rücktransformation#Aperiodisch_abklingende_Impulsantwort|aperiodisch abklingend]]. *Bei der rechten Konstellation ist  $h(t)$  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace–Rücktransformation#Ged.C3.A4mpft_oszillierende_Impulsantwort|gedämpft oszillierend]]. *Bei der mittleren Konstellation spricht man vom  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Laplace–Rücktransformation#Aperiodischer_Grenzfall|aperiodischen Grenzfall]]. <div style="clear:both;"> </div> </div> =='"`UNIQ--h-5--QINU`"'Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase== <br> Gegeben sei die  $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation: :'"`UNIQ-MathJax21-QINU`"' Zum herkömmlichen Frequenzgang  $H(f)$  kommt man, indem man das Argument  $p$  von  $H_{\rm L}(p)$  durch  ${\rm j} \cdot 2πf$  ersetzt: [[File:EN_LZI_T_3_2_S6.png|right|frame|Ausgangsdiagramm zur Berechnung <br>von Dämpfung und Phase|class=fit]] :'"`UNIQ-MathJax22-QINU`"' Wir betrachten nun eine feste Frequenz  $f$  und beschreiben die Abstände und Winkel aller Nullstellen durch Vektoren: :'"`UNIQ-MathJax23-QINU`"' In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor: :'"`UNIQ-MathJax24-QINU`"' Die Grafik zeigt die Beträge und Phasenwinkel für ein System *mit  $Z = 2$  Nullstellen in der rechten Halbebene *und  $N = 2$  Polstellen in der linken Halbebene. Zu berücksichtigen ist zudem die Konstante  $K$. Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden: :'"`UNIQ-MathJax25-QINU`"' Stellt man  $H(f)$  durch die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und die Phasenfunktion  $b(f)$  nach der allgemein gültigen Beziehung  $H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$  dar, so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis: *Bei geeigneter Normierung aller dimensionsbehafteten Größen gilt für die Dämpfung in Neper  $(1 \ \rm Np$ entspricht $8.686 \ \rm dB)$: :'"`UNIQ-MathJax26-QINU`"' *Die Phasenfunktion in Radian $\rm (rad)$ ergibt sich entsprechend der oberen Skizze zu :'"`UNIQ-MathJax27-QINU`"' [[File:P_ID1762__LZI_T_3_2_S6b_neu.png |right|frame| Zur Berechnung der Dämpfungs– und Phasenfunktion (Bildschirmabzug des Programms "Kausale Systeme & Laplace–Transformation" in einer früheren deutschen Version)|class=fit]] <div class="greybox"> $\text{Example 4:}$  Die Grafik verdeutlicht die Berechnung *der Dämpfungsfunktion  $a(f)$   ⇒   roter Kurvenverlauf,  und *der Phasenfunktion  $b(f)$   ⇒   grüner Kurvenverlauf eines Vierpols, der durch den Faktor  $K = 1.5$, eine Nullstelle bei  $-3$  und zwei Pole bei  $–1 \pm {\rm j} · 4$  festliegt. Die angegebenen Zahlenwerte gelten für die Frequenz  $2πf = 3$: :'"`UNIQ-MathJax28-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax29-QINU`"' :'"`UNIQ-MathJax30-QINU`"' Die Herleitung dieser Zahlenwerte ist im umrahmten Block verdeutlicht. Für den Betragsfrequenzgang   $\vert H(f)\vert$   ⇒   blauer Kurvenverlauf ergibt sich ein bandpassähnlicher Verlauf mit

$$\vert H(f = 0)\vert \approx 0.25\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \vert H(f = {4}/(2\pi)\vert \approx 0637\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \vert H(f \rightarrow \infty)\vert= 0 \hspace{0.05cm} .$$

Exercises for the chapter

Exercise 3.2: Laplace Transform

Exercise 3.2Z: Laplace and Fourier

Exercise 3.3: p-Transfer Function

Exercise 3.3Z: High- and Low-Pass Filters in p-Form

Exercise 3.4: Attenuation and Phase Response

Exercise 3.4Z: Various All-Pass Filters