Modulation Methods/Phase Modulation (PM)

1. Modulation Methods
2. Angle Modulation and Demodulation
3. Phase Modulation (PM)

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# OVERVIEW OF THE THIRD MAIN CHAPTER #

$\Rightarrow \hspace{0.5cm}\text{We are just beginning the English translation of this chapter.}$

The third chapter describes angle modulation   $\rm (WM)$ (from the German "Winkelmodulation")  – this name is a generic term for phase modulation $\rm (PM)$  and frequency modulation   $\rm (FM)$  – as well their the associated demodulators.

In detail, it covers:

• the similarities and differences between phase and frequency modulation,
• the signal characteristics and spectral functions of angle-modulated signals and the influence of band limiting,
• the signal-to-noise power ratio of FM, which is more favorable than that of AM.

Similarities between phase and frequency modulation

It has already been pointed out in the chapter  General Model of Modulation  that there are substantial similarities between phase modulation   $\rm (PM)$  and frequency modulation  $\rm (FM)$ .  Therefore, these two related modulation methods are summarized under the general term "angle modulation".

$\rm Definition\text{:}$  An  angle modulation  – abbreviated as   $\rm WM$  – is present whenever the modulated signal can be represented as follows:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos\big[\psi(t)\big] = A_{\rm T} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[ω_{\rm T} · t + ϕ(t)\big] \hspace{0.05cm}.$$

• Here, as in amplitude modulation  $A_{\rm T}$  denotes the amplitude of the carrier signal  $z(t)$. 
• However, all the information about the source signal  $q(t)$  is now captured by the   angular function  $ψ(t)$.

Equivalent low-pass signal in angle modulation

Based on the plot of the equivalent low-pass signal  $s_{\rm TP}(t)$  ( subscript from the German "Tiefpass" ⇒ low-pass) on the complex plane  (we will refer to such a plot as as a "locus curve") , the following charactistics of angle modulation can be seen:

• The locus curve is an   arc  with radius  $A_{\rm T}$.  It follows that the envelope of an angle-modulated signal is always constant:

$$a(t) = |s_{\rm TP}(t)|= A_{\rm T}= {\rm const.}$$

• The equivalent low-pass signal in angle modulation is always complex and determined by a time-dependent   phase function  $ϕ(t)$  (in radians), which determines the zero intercepts of  $s(t)$ :

$$s_{\rm TP}(t)= A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm}.$$

• For a symmetric source signal  $q(t)$ ,  $ϕ(t)$  can take on all values between  $±ϕ_{\rm max}$ , where  $ϕ_{\rm max}$  indicates the   phasen deviation .  The larger the phase deviation, the more intense the modulation.
• For a harmonic oscillation, the phase deviation  $ϕ_{\rm max}$  is equal to the   modulation index  $η$.  Thus, the use of  $η$  in what follows simultaneously indicates that  $q(t)$  only contains a single frequency.
• The relationship between the source signal  $q(t)$  and the angular function  $ψ(t) = \cos\hspace{-0.1cm}\big[ω_{\rm T} · t + ϕ(t)\big]$  like the phase function  $ϕ(t)$  that can be derived from it, differs fundamentally in phase and frequency modulation, which will be discussed in detail in the chapter  Frequency Modulation .

$\text{Beispiel 1:}$  Die folgende Grafik zeigt jeweils

• rechts das Sendesignal  $s(t)$   ⇒   blaue Signalverläufe im Vergleich zum Trägersignal  $z(t)$   ⇒   rote Schwingungen, sowie
• links das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  in der komplexen Ebene.

Die (linke) Darstellung in der komplexen Ebene bezeichnen wir auch als die „Ortskurve”   ⇒   grüne Kurvenverläufe.

Physikalisches Signal und äquivalentes Tiefpass–Signal bei Winkel- und Amplitudenmodulation

Die obere Skizze gilt für die Winkelmodulation  $\rm WM$:

• Das äquivalente TP–Signal  $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} · {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}· \hspace{0.05cm}ϕ(t)}$  beschreibt einen Kreisbogen   ⇒   konstante Einhüllende  $a(t) = A_{\rm T}$.
• Die Information über das Quellensignal  $q(t)$  steckt hier also ausschließlich in der Lage der Nulldurchgänge von  $s(t)$.
• Gilt momentan  $ϕ(t) < 0$, so treten die Nulldurchgänge von  $s(t)$  später als diejenigen von  $z(t)$  auf.
• Andernfalls – bei  $ϕ(t) > 0$  – sind die Nulldurchgänge von  $s(t)$  gegenüber  $z(t)$  vorlaufend.

Die untere Skizze gilt für die  Zweiseitenband–Amplitudenmodulation  $\rm (ZSB-AM)$  wie im Kapitel 2 beschrieben, gekennzeichnet durch

• die zeitabhängige Hüllkurve  $a(t)$  gemäß dem Quellensignal  $q(t)$,
• äquidistante Nulldurchgänge von  $s(t)$  gemäß dem Träger  $z(t)$, und
• eine horizontale Gerade als Ortskurve  $s_{\rm TP}(t)$.

Das vorliegende dritte Kapitel wurde nach folgenden Gesichtspunkten gegliedert:

1.   Ein jedes FM–System kann durch einfache Modifikationen in ein entsprechendes PM–System übergeführt werden und umgekehrt.
2.   Größere Bedeutung bei Analogsystemen hat die FM aufgrund des günstigeren Rauschverhaltens.  Deshalb werden Realisierungsaspekte für Modulator/Demodulator erst im Kapitel  Frequenzmodulation  (FM) behandelt.
3.   Die Phasenmodulation (PM) ist gegenüber der FM leichter zu verstehen.  Deshalb werden zunächst in diesem ersten Kapitel die grundlegenden Eigenschaften eines Winkelmodulationssystems am Beispiel der PM dargelegt.

Signalverläufe bei Phasenmodulation

Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit wird im Folgenden vorausgesetzt:

• ein cosinusförmiges Trägersignal  $z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$, das heißt die Trägerphase ist stets  $ϕ_{\rm T} = 0$,
• ein spitzenwertbegrenztes Quellensignal in den Grenzen  $\ –q_{\rm max} ≤ q(t) ≤ +q_{\rm max}$.

$\rm Definition\text{:}$  Ist die Phasenfunktion  $ϕ(t)$  proportional dem anliegenden Quellensignal  $q(t)$, so spricht man von einer  Phasenmodulation  $\rm (PM)$, und es gilt:

$$\phi(t)= K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\psi(t)= \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\psi(t)\big]\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet  $K_{\rm PM}$  die dimensionsbehaftete Modulatorkonstante.  Beschreibt  $q(t)$  einen Spannungsverlauf, so besitzt diese Konstante die Einheit  $\rm 1/V$.

Die Phasenmodulaton ist um so intensiver,

• je größer die Modulatorkonstante  $K_{\rm PM}$  ist,
• je größer der Maximalwert  $q_{\rm max}$  des Quellensignals ist.

Quantitativ erfasst wird dieser Sachverhalt durch den  Phasenhub

$$ \phi_{\rm max} = K_{\rm PM} \cdot q_{\rm max}\hspace{0.05cm}.$$

Bei einer harmonischen Schwingung wird der "Phasenhub" auch als  Modulationsindex  bezeichnet und es gilt mit der Amplitude  $A_{\rm N}$  des Quellensignals:

$$\eta = \eta_{\rm PM} = K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}\hspace{0.05cm}.$$

Zu dieser Gleichung ist Folgendes anzumerken:

• Der Modulationsindex  $η$  ist vergleichbar mit dem Modulationsgrad  $m$  bei ZSB–AM mit Träger.
• In der Ortskurve beschreiben  $ϕ_{\rm max}$  bzw.  $η$  den halben Winkel des Kreisbogens in „Radian”.
• Bei anderem Quellensignal mit gleichem  $η$  – zum Beispiel:  andere Phase  $ϕ_{\rm N}$  – ändert sich die Ortskurve nicht, lediglich die zeitliche Bewegung auf der Ortskurve.
• Der Modulationsindex wird auch zur Beschreibung der Frequenzmodulation herangezogen, doch ist er dann etwas anders zu berechnen.
• Wir unterscheiden deshalb zwischen  $η_{\rm PM}$  und  $η_{\rm FM}$.

Signalverläufe bei Phasenmodulation mit  $η = 1$  bzw.  $η = 3$

$\rm Beispiel \ 2\text{:}$  Die Grafik zeigt oben das sinusförmige Quellensignal  $q(t)$  mit der Frequenz  $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$  und der Amplitude  $A_{\rm N}$  sowie darunter gezeichnet zwei phasenmodulierte Signale.  Diese unterscheiden sich durch den Parameter  $η = 1$  bzw.  $η = 3$:

$$s_\eta(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t) \big]\hspace{0.05cm}.$$

Grau gepunktet ist das cosinusförmige Trägersignal  $z(t)$  eingezeichnet, wobei jeweils  $f_{\rm T} = 20 \ \rm kHz$  zugrunde liegt.

Der Modulationsindex  $η = 1$  und damit das Sendesignal  $s_1(t)$  ergibt sich zum Beispiel

• mit  $A_{\rm N} = 1 \ \rm V $  und  $K_{\rm PM} = \rm 1/V$, aber auch
• mit den Parameterwerten  $A_{\rm N} = 2 \ \rm V$  und  $K_{\rm PM} = \rm 0.5/V$.

Man erkennt aus diesen Kurvenverläufen:

• Die Nulldurchgänge des Sendesignals  $s_1(t)$  und des Trägersignals  $z(t)$  stimmen genau dann überein, wenn  $q(t) ≈ 0$  ist.
• Bei  $q(t) = +\hspace{-0.05cm}A_{\rm N}$  kommen die Nulldurchgänge von  $s_1(t)$  um  $1/(2π) ≈ 0.159$  einer Trägerperiode  $T_0$  früher  („vorlaufend”), bei  $q(t) = -\hspace{-0.05cm}A_{\rm N}$  um den gleichen Bruchteil später  („nachlaufend”).
• Erhöht man den Modulationsindex auf  $η = 3$  –  entweder durch Verdreifachung von  $A_{\rm N}$  oder von  $K_{\rm PM}$, so ergibt sich qualitativ das gleiche Resultat, aber eine intensivere Phasenmodulation.
• Die Nulldurchgänge von  $s_3(t)$  sind nun gegenüber denen des Taktsignals um maximal  $\rm ±3/(2π) ≈ ±0.5$  einer Trägerperiode verschoben, also bis zu  $±T_0/2$.

Äquivalentes TP–Signal bei Phasenmodulation

Als Vorbereitung zur Herleitung des Spektrums  $S(f)$  eines phasenmodulierten Signals  $s(t)$  wird zunächst das äquivalente Tiefpass–Signal  $s_{\rm TP}(t)$  analysiert.  Dabei gehen wir von folgenden Voraussetzungen aus:

• ein sinusförmiges Quellensignal mit Amplitude  $A_{\rm N}$  und Frequenz  $f_{\rm N}$,
• ein cosinusförmiges Trägersignal mit Amplitude  $A_{\rm T}$  und Frequenz  $f_{\rm T}$,
• eine Phasenmodulation mit dem Modulationsindex  $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$.

Damit lauten das phasenmodulierte Signal sowie das dazugehörige äquivalente Tiefpass–Signal:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t) \big]\hspace{0.05cm},$$

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm N} \cdot t) }\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Signal ist periodisch und kann somit durch eine  komplexe Fourierreihe  dargestellt werden.  Damit erhält man allgemein:

$$s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_{n} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}.$$

In dem hier betrachteten Sonderfall  (sinusförmiges Quellensignal, cosinusförmiger Träger)  sind die im Allgemeinen komplexen Fourierkoeffizienten  $D_n$  alle reell und mit den  Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  erster Art und  $n$–ter Ordnung wie folgt gegeben:

$$D_{n} = A_{\rm T}\cdot {\rm J}_n (\eta) \hspace{0.05cm}. \hspace{1cm} $$

$\text{Wichtiges Zwischenergebnis:}$    Nun soll mathematisch nachgewiesen werden, dass das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation tatsächlich in die folgende Funktionsreihe umgewandelt werden kann:

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm N} \cdot t) } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

$\text{Beweis:}$  Wir setzen vereinfachend  $A_{\rm T} = 1$. Damit lautet das gegebene äquivalente Tiefpass–Signal:    

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm N} \cdot t) }\hspace{0.05cm}.$$

(1)  Mit  $x = {\rm j} · η · \sin(γ)$  und  $γ = ω_{\rm N} · t$  lautet die Potenzreihenentwicklung dieser Gleichung:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{x } = 1 + x + \frac{1}{2!} \cdot x^2 + \frac{1}{3!} \cdot x^3 + \text{...} = 1 + {\rm j} \cdot \eta \cdot \sin (\gamma)+ \frac{1}{2!} \cdot {\rm j}^2 \cdot \eta^2 \cdot \sin^2 (\gamma)+ \frac{1}{3!} \cdot {\rm j}^3 \cdot \eta^3 \cdot \sin^3 (\gamma) + \text{...}$$

(2)  Die einzelnen trigonometrischen Ausdrücke können wie folgt umgeformt werden:

$$ \frac{1}{2!} \cdot {\rm j}^2 \cdot \eta^2 \cdot \sin^2 (\gamma) = \frac{- \eta^2}{2 \cdot 2!} \cdot \big[ 1 - \cos (2\gamma)\big],\hspace{1.0cm} \frac{1}{3!} \cdot {\rm j}^3 \cdot \eta^3 \cdot \sin^3 (\gamma) = \frac{- {\rm j} \cdot \eta^3}{4 \cdot 3!} \cdot \big[ 3 \cdot \sin (\gamma)- \sin (3\gamma)\big],$$

$$ \frac{1}{4!} \cdot {\rm j}^4 \cdot \eta^4 \cdot \sin^4 (\gamma) = \frac{\eta^4}{8 \cdot 4!} \cdot \left[ 3+ 4 \cdot \cos (2\gamma)+ \cos (4\gamma)\right], \text{...} $$

(3)  Durch Umordnen erhält man mit  ${\rm J}_n(η)$, den Besselfunktionen erster Art und $n$–ter Ordnung:

$$s_{\rm TP}(t) = 1 \cdot {\rm J}_0 (\eta) + 2 \cdot {\rm j}\cdot {\rm J}_1 (\eta)\cdot \sin (\gamma) \hspace{0.2cm} + 2 \cdot {\rm J}_2 (\eta)\cdot \cos (2\gamma) + 2 \cdot {\rm j}\cdot {\rm J}_3 (\eta)\cdot \sin (3\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_4 (\eta)\cdot \cos (4\gamma) + \text{...} $$

(4)  Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 (\eta) + \big[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{ - \rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \big]\cdot {\rm J}_1 (\eta) \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{ - \rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 (\eta)+ \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 3\gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{ - \rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 3\gamma} \right]\cdot {\rm J}_3 (\eta)+ \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{ - \rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\gamma} \right]\cdot {\rm J}_4 (\eta)+\text{...}$$

(5)  Die Besselfunktionen zeigen folgende Symmetrieeigenschaften:

$${\rm J}_{-n} (\eta) = ( - 1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm J}_{ - 1} (\eta) = - {\rm J}_{1} (\eta),\hspace{0.3cm}{\rm J}_{ - 2} (\eta) = {\rm J}_{2} (\eta),\hspace{0.3cm}{\rm J}_{ - 3} (\eta) = - {\rm J}_{3} (\eta),\hspace{0.3cm}{\rm J}_{ - 4} (\eta) = {\rm J}_{4} (\eta).$$

(6)  Berücksichtigt man diesen Sachverhalt und den bisher weggelassenen Faktor  $A_{\rm T}$, so erhält man das gewünschte Ergebnis:

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

$\text{q.e.d.}$

Zur Berechnung der Besselfunktionen

Diese bereits 1844 von  Friedrich Wilhelm Bessel  eingeführten mathematischen Funktionen sind wie folgt definiert (erste Gleichung) und können gemäß der zweiten Gleichung durch eine Reihe angenähert werden:

$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha\hspace{0.05cm},$$

$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$

Nebenstehende Grafik zeigt die jeweils ersten drei Summanden  $(k = 0,\ 1,\ 2)$  der Reihen  ${\rm J}_0(η)$, ... ,  ${\rm J}_3(η).$  Der rot umrandete Term – gültig für  $n = 3$  und  $k = 2$  – lautet beispielsweise in ausgeschriebener Form:

$$\frac{(-1)^2 \cdot (\eta/2)^{3 \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}2}}{2\hspace{0.05cm}! \cdot (3+2)\hspace{0.05cm}!} = \frac{1}{240}\cdot (\frac{\eta}{2})^7 \hspace{0.05cm}.$$

• Die Besselfunktionen  $J_n(η)$  findet man aber auch in Formelsammlungen oder mit dem von uns bereitgestellten Berechnungsmodul  Besselfunktionen erster Art.
• Sind die Funktionswerte für  $n = 0$  und  $n = 1$  bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für  $n ≥ 2$  iterativ ermittelt werden:

$${\rm J}_n (\eta) ={2 \cdot (n-1)}/{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

Interpretation des Besselspektrums

Die Grafik zeigt die Besselfunktionen  ${\rm J}_0(η)$, ... ,  ${\rm J}_7(η)$  abhängig vom Modulationsindex  $η$  im Bereich  $0 ≤ η ≤ 10$.

Besselfunktionen erster Art und  $n$–ter Ordnung

Man findet diese auch in Formelsammlungen wie [BS01] in tabellarischer Form.

• Die erste Art wird durch das $\rm J$ ausgedrückt,
• die Ordnung durch den Index $n$.

Anhand dieser Grafik können für das äquivalente Tiefpass-Signal

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}$$

folgende Eigenschaften abgeleitet werden:

• Das äquivalente Tiefpass–Signal setzt sich aus einem ruhenden Zeiger  $(n = 0)$  sowie unendlich vielen im Uhrzeigersinn  $(n < 0)$  bzw. entgegen dem Uhrzeigersinn  $(n > 0)$  drehenden Zeigern zusammen.

• Die Zeigerlängen hängen über die Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  vom Modulationsindex  $η$  ab.  Je kleiner  $η$  ist, um so mehr Zeiger können allerdings für die Konstruktion von  $s_{\rm TP}(t)$  vernachlässigt werden.

• Für den Modulationsindex  $η = 1$  gilt beispielsweise folgende Näherung:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 (1) + {\rm J}_1 (1)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}+ {\rm J}_2 (1)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}+ {\rm J}_3 (1)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}3 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}- {\rm J}_1 (1)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}+ {\rm J}_2 (1)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}- {\rm J}_3 (1)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}3 \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei ist die Symmetriebeziehung  ${\rm J}_{–n}(η) = (–1)^n · {\rm J}_n(η)$  berücksichtigt. Es gilt also:

$${\rm J}_{-1}(\eta) = - {\rm J}_{1}(\eta), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-2}(\eta) = {\rm J}_{2}(\eta), \hspace{0.3cm}{\rm J}_{-3}(\eta) = - {\rm J}_{3}(\eta).$$

• Weiter erkennt man aus obiger Gleichung, dass sich  $s_{\rm TP}(t)$  mit  $η = 3$  aus deutlich mehr Zeigern zusammensetzt, nämlich denen mit den Indizes  ${\rm J}_{–6}(\eta)$, ... ,  ${\rm J}_{+6}(\eta)$.

Äquivalentes Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation

$\rm Beispiel\ 3\text{:}$  Die Besselfunktionen liefern für den Modulationsindex  $η = 1$  folgende Werte:

$${\rm J}_0 = 0.765,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 = - {\rm J}_{ - 1} = 0.440, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 = {\rm J}_{ - 2} = 0.115,\hspace{0.3cm}{\rm J}_3 = - {\rm J}_{ - 3} = 0.020\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Zusammensetzung der Ortskurve aus den sieben Zeigern.  Anmerkung:  
    ${\rm J}_3$  und  ${\rm J}_{ - 3}$  fehlen in der Skizze, aber nicht im Gesamtsignal.

Die Frequenz des sinusförmigen Quellensignals ist  $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, woraus sich die Periodendauer  $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 500 \ \rm µ s$  ergibt.  Vereinfachend wird  $A_{\rm T} = 1$  gesetzt.

Das linke Bild zeigt die Momentaufnahme zur Zeit  $t = 0$.

• Wegen  ${\rm J}_1 = – {\rm J}_{ – 1}$  und  ${\rm J}_3 = – {\rm J}_{ – 3}$  gilt hierfür:

$$s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm J}_0 + {\rm J}_{2} + {\rm J}_{ - 2} = 0.765 + 2 \cdot 0.115 = 0.995 \hspace{0.05cm}.$$

• Aus dem reellen Ergebnis folgt die Phase  ${\mathbf ϕ}(t = 0) = 0$  und der Betrag  $a(t = 0) = 1$.
• Der geringfügig abweichende Wert  $0.995$  zeigt, dass  ${\rm J}_4 = {\rm J}_{ – 4}$  zwar klein ist  $(≈ 0.002)$, aber nicht identisch Null.

Das rechte Bild zeigt die Verhältnisse zur Zeit  $t = T_{\rm N}/4 = 125\ \rm µ s$:

• Die Zeiger mit den Längen  ${\rm J}_{– 1}$  und  ${\rm J}_1$  haben sich im bzw. entgegen dem Uhrzeigersinn um  $90^\circ$  gedreht und zeigen nun beide in Richtung der imaginären Achse.
• Die Zeiger  ${\rm J}_2$  und  ${\rm J}_{– 2}$  drehen doppelt so schnell wie  ${\rm J}_1$  bzw.  ${\rm J}_{– 1}$  und zeigen nun beide in Richtung der negativen reellen Achse.
• ${\rm J}_3$  und  ${\rm J}_{– 3}$  drehen im Vergleich zu  ${\rm J}_1$  und  ${\rm J}_{– 1}$  mit dreifacher Geschwindigkeit und zeigen jetzt beide nach unten.

Damit erhält man:

$$s_{\rm TP}(t = 125\,{\rm µ s}) = {\rm J}_0 - 2 \cdot {\rm J}_{2} + {\rm j} \cdot (2 \cdot {\rm J}_{1} - 2 \cdot {\rm J}_{3})= 0.535 + {\rm j} \cdot 0.840 $$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} a(t = 125\,{\rm µ s}) = \sqrt{0.535^2 + 0.840^2}= 0.996\hspace{0.05cm},$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi(t = 125\,{\rm µ s}) = \arctan \frac{0.840}{0.535} = 57.5^\circ \approx 1\,{\rm rad}\hspace{0.05cm}.$$

Auch zu allen anderen Zeiten ergibt die vektorielle Summe der sieben Zeiger jeweils einen Punkt auf dem Kreisbogen mit Winkel  $ϕ(t)$, wobei  $\vert ϕ(t) \vert ≤ η = 1\ \rm rad $  gilt.

Spektralfunktion eines phasenmodulierten Sinussignals

$\text{Ohne Beweis:}$ 

• Ausgehend vom eben berechneten äquivalenten Tiefpass–Signal erhält man für das  analytische Signal:

$$s_{\rm +}(t) = s_{\rm TP}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}= A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N}) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}$$

• Durch Fouriertransformation ergibt sich für das  Spektrum des analytischen Signals:

$$S_{\rm +}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f - (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$

• Das  Spektrum des physikalischen Signals  erhält man durch Ausweitung auf negative Frequenzen unter Berücksichtigung des Faktors  $1/2$:

$$S(f) = \frac{A_{\rm T} }{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta \big[f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$

Spektrum des analytischen Signals bei PM (gültig auch für FM)

Anhand der Grafik sind folgende Aussagen möglich:

• Das Spektrum  $S_+(f)$  eines phasenmodulierten Sinussignals besteht aus unendlich vielen diskreten Linien im Abstand der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$.  Es ist somit prinzipiell unendlich weit ausgedehnt.
• Die Höhen (Gewichte) der Spektrallinien bei  $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$  (wobei  $n$  ganzzahlig ist) sind durch den Modulationsindex  $η$  über die Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  festgelegt.
• Die Werte der Besselfunktionen  ${\rm J}_n(η)$  zeigen, dass man in der Praxis durch Bandbegrenzung das Spektrum nur wenig verändert.  Der daraus resultierende Fehler wächst aber mit steigendem  $η$.
• Die Spektrallinien sind bei sinusförmigem Quellensignal und cosinusförmigem Träger reell und für gerades  $n$  symmetrisch um  $f_{\rm T}$.  Bei ungeradem  $n$  ist ein Vorzeichenwechsel zu berücksichtigen.
• Die Phasenmodulation einer Schwingung mit anderer Phase von Quellen– und/oder Trägersignal liefert das gleiche Betragsspektrum und unterscheidet sich nur bezüglich der Phasenfunktion.

Setzt sich das Nachrichtensignal aus mehreren Schwingungen zusammen, so ist die Berechnung des Spektrums schwierig, nämlich:

• Faltung der Einzelspektren  (siehe nächster Abschnitt und  Aufgabe 3.3).

Phasenmodulation der Summe zweier Sinusschwingungen

Setzt sich das Quellensignal aus der Summe zweier Sinusschwingungen zusammen, so lauten die Signale am Ausgang des Phasenmodulators:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta_1 \cdot \sin (\omega_{\rm 1} \cdot t) + \eta_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm},$$

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [\hspace{0.05cm}\eta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 1} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}\eta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t)]}\hspace{0.05cm}.$$

Zur einfacheren Darstellung setzten wir nun  $A_{\rm T} = 1$  und erhalten:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 1} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) } \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (\omega_{\rm 2} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$

Die Spektralfunktionen der beiden Terme lauten:

$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm 1} \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) } \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} B_1(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta_1) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm 1})\hspace{0.05cm},$$

$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.08cm}\sin (2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm 2} \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) } \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} B_2(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta_2) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm 2})\hspace{0.05cm}.$$

• Die Besselfunktionen  $B_1(f)$  und  $B_2(f)$  beschreiben Linienspektren im Frequenzabstand  $f_1$  und  $f_2$, deren Impulsgewichte durch  $η_1$  und  $η_2$  bestimmt sind.
• Aufgrund der Multiplikation im Zeitbereich ergibt sich für die Spektralfunktion die Faltung:

$$S_{\rm TP}(f) = B_1(f) \star B_2(f)= S_{\rm +}(f + f_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

$\rm Beispiel\ 4\text{:}$  Die linke Grafik zeigt die Besselfunktion  $B_1(f)$  für  $η_1 = 0.64$  und  $f_1 = 1 \ \rm kHz$. 

Äquivalentes Tiefpass-Spektrum als Faltung zweier Besselspektren

• Auf die deutlich kleineren Linien bei  $f = ±2 \ \rm kHz$  mit den Gewichten  $0.05$  ist der Übersichtlichkeit halber verzichtet.
• Die Funktion  $B_2(f)$  gilt für den gleichen Modulationsindex  $η_2 = η_1$, aber für die Nachrichtenfrequenz  $f_2 = 4 \ \rm kHz$.
• Das Tiefpass-Spektrum  $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) \star B_2(f)$  besteht hier aus neun Diraclinien. Es ist im rechten Diagramm skizziert.
• Durch Frequenzverschiebung um  $f_{\rm T}$  nach rechts erhält man das Spektrum  $S_+(f)$  des analytischen Signals  $s_+(t)$.
• Es gilt also  $S_+(f = f_{\rm T}) = S_{\rm TP}(f = 0) = 0.81$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.1: Ortskurve bei Phasenmodulation

Aufgabe 3.1Z: Einfluss der Nachrichtenphase bei PM

Aufgabe 3.2: Spektrum bei Winkelmodulation

Aufgabe 3.2Z: Besselspektrum

Aufgabe 3.3: Summe zweier Schwingungen

Aufgabe 3.3Z: Kenngrößenbestimmung

Aufgabe 3.4: Einfacher Phasenmodulator