Laplace Transform and p-Transfer Function

Considered system model

We consider a linear time-invariant system with the impulse response $h(t)$, to whose input the signal $x(t)$ is applied. The output signal $y(t)$ is then obtained as the convolution product $x(t) ∗ h(t)$.

General (also non-causal) and causal system model

For non-causal systems and signals, the first Fourier integral must always be applied to describe the spectral behavior, and the following is valid for the output spectrum:

$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) \hspace{0.05cm}.$$

The Fourier integral also continues to be valid for causal systems and signals, i.e. under the assumption

$$x(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm} t<0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{for}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{for}} \hspace{0.2cm} t<0 \hspace{0.05cm}.$$

In this case, however, there are significant advantages in applying the Laplace transformation while taking into account certain restrictions:

The systems treated in this way are always realizable by a circuit. The developer is not tempted to offer unrealistic solutions.
The Laplace transform $X_{\rm L}(p)$ is always a real function of the spectral variable $p$. The fact that this variable is derived from the multiplication of the physical angular frequency $ω = 2πf$ by the imaginary unit $\rm j$ according to $p = {\rm j} · 2πf$ does not matter for the user.
The implicit condition $x(t) = 0$ for $t < 0$ specifically allows for simpler analysis of transient behavior after switching-on processes than with the Fourier integral.

Definition of the Laplace transformation

Starting from the first Fourier integral

$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t,$$

the Laplace transformation is obtained directly using the formal substitution $p = {\rm j} · 2πf$ for a causal time function

$$x(t) = 0 \ \ \text{for} \ \ t < 0.$$

$\text{Definition:}$ The Laplace transform of a causal time function $x(t)$ is:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t} }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm briefly}\hspace{0.3cm} X_{\rm L}(p) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad x(t)\hspace{0.05cm}.$$

The relationship between the Laplace transform $X_{\rm L}(p)$ and the physical spectrum $X(f)$ is often given as follows:

$$X(f) = X_{\rm L}(p) \Bigg |_{{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}={\rm \hspace{0.05cm} j\hspace{0.05cm}2\pi \it f}}}.$$

However, if the signal $x(t)$ has periodic components and thus the spectral function $X(f)$ contains Dirac functions, then this equation is not applicable.
In this case, $p = α + {\rm j} · 2πf$ must be applied and then the limit $α → 0$ must be formed.

$\text{Example 1:}$ We assume the unilaterally and exponentially decreasing time function corresponding to the sketch in $\text{Example 1}$ of the chapter "Conclusions from the Allocation Theorem":

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5 \\ {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{for} } \\ {\rm{for} } \\ {\rm{for} } \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0\hspace{0.05cm},} \\ { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

Thus, the Laplace transform is:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-t/T} \cdot {\rm e}^{-pt} \hspace{0.1cm}{\rm d}t= \frac {1}{p + 1/T} \cdot {{\rm e}^{-(p+1/T) \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.08cm}t}}\hspace{0.15cm}\Bigg \vert_{t \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0}^{\infty}= \frac {1}{p + 1/T} \hspace{0.05cm} .$$

Considering $p = {\rm j} · 2πf$, the conventional spectral function with respect to $f$ is obtained:

$$X(f) = \frac {1}{{\rm j \cdot 2\pi \it f} + 1/T} = \frac {T}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT}} \hspace{0.05cm} .$$

In contrast, if we consider the frequency response of a low-pass filter of first-order whose impulse response $h(t)$ differs from the above time function by the factor $1/T$ , then the following holds for the Laplace transform and the Fourier transform, respectively:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1/T}{p + 1/T}= \frac {1}{1 + p \cdot T} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.8cm}H(f) = \frac {1}{1+{\rm j \cdot 2\pi \it fT} } = \frac {1}{1+{\rm j} \cdot f/f_{\rm G} } \hspace{0.05cm} .$$

Often, as in this equation, the 3dB cut-off frequency $f_{\rm G} = 1/(2πT)$ is used instead of the parameter $T$ .

Some important Laplace correspondences

Some important Laplace correspondences are compiled subsequently. All time signals $x(t)$ considered here are assumed to be dimensionless. For this reason, $X_{\rm L}(p)$ then always has the unit "second" as an integral over time.

Table with some Laplace transforms

The Laplace transform of the Dirac function $δ(t)$ is $X_{\rm L}(p) = 1$ $($Diagramm $\rm A)$. Durch Anwendung des Integrationssatzes erhält man $X_{\rm L}(p) = 1/p$ für die Sprungfunktion $γ(t)$ $($Diagramm $\rm B)$ und aus dieser durch Multiplikation mit $1/(pT)$ die Laplace–Transformierte der linear ansteigenden Funktion $x(t) = t/T$ für $t > 0$ $($Diagramm $\rm C)$.

The Rechteckfunktion kann aus der Subtraktion zweier um $T$ auseinanderliegender Sprungfunktionen $γ(t)$ und $γ(t – T)$ erzeugt werden, so dass sich nach dem Verschiebungssatz die Laplace–Transformierte $X_{\rm L}(p) = (1 – {\rm e}^{–pT})/p$ ergibt $($Diagramm $\rm D)$. Durch Integration erhält man daraus die Rampenfunktion bzw. nach Multiplikation mit $1/(pT)$ deren Laplace–Transformierte $($Diagramm $\rm E)$.

Die Exponentialfunktion $($Diagramm $\rm F)$ wurde bereits auf der letzten Seite betrachtet. Mit dem Faktor $1/T$ ist diese gleichzeitig die Impulsantwort eines Tiefpasses erster Ordnung. Durch Quadrierung erhält man die $p$–Spektralfunktion eines Tiefpasses zweiter Ordnung mit der Zeitfunktion $x(t) = t/T · {\rm e}^{–t/T}$ (Diagramm $\rm G$).

Neben der kausalen $\rm si$–Funktion $($Diagramm $\rm H)$ sind in der Tabelle auch die Laplace–Transformierten der kausalen Cosinus– und Sinusfunktion $($Diagramme $\rm I$ und $\rm J)$ angegeben, die sich zu $p/(p^2 + ω_0^2)$ bzw. $ω_0/(p^2 + ω_0^2)$ ergeben. Hierbei bezeichnet $ω_0 = 2πf_0 = 2π/T$ die so genannte Kreisfrequenz.

Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen

Ein jedes lineare zeitinvariante System (LZI), das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen wie

Widerständen $(R)$,
Kapazitäten $(C)$,
Induktivitäten $(L)$ und
Verstärkerelementen

realisiert werden kann, besitzt eine gebrochen–rationale $p$–Übertragungsfunktion:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{...} + A_2 \cdot p^2 + A_1 \cdot p + A_0} {B_N \cdot p^N +\text{...} \ + B_2 \cdot p^2 + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)} \hspace{0.05cm} .$$

Alle Koeffizienten des Zählers ⇒ $A_Z, \text{...} \ , A_0$ und des Nenners ⇒ $B_N, \text{...} , B_0$ sind reell. Weiter bezeichnen mit

$Z$ den Grad des Zählerpolynoms $Z(p)$,
$N$ den Grad des Nennerpolynoms $N(p)$.

$\text{Äquivalente Pol–Nullstellen–Darstellung:}$ Für die $p$–Übertragungsfunktion kann auch geschieben werden:

$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i} } {\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i} }= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \ \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Die $Z + N + 1$ Parameter bedeuten:

$K = A_Z/B_N$ ist ein konstanter Faktor. Gilt $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.
Die Lösungen der Gleichung $Z(p) = 0$ ergeben die $Z$ Nullstellen $p_{\rm o1},\text{...} \ , p_{\rm oZ}$ von $H_{\rm L}(p)$.
Die Nullstellen des Nennerpolynoms $N(p)$ liefern die $N$ Polstellen (oder kurz Pole).

Die Umformung ist eindeutig. Dies erkennt man daran, dass die $p$–Übertragungsfunktion gemäß der ersten Gleichung ebenfalls nur durch $Z + N + 1$ freie Parameter bestimmt ist, da einer der Koeffizienten $A_Z, \text{...} \ , A_0, B_N, \text{...} \ , B_0$ ohne Änderung des Quotienten auf $1$ normiert werden kann.

$\text{Example 2:}$ Wir betrachten den gezeichneten Vierpol mit einer Induktivität $L$ $($komplexer Widerstand $pL)$ im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung eines Ohmschen Widerstandes $R$ und einer Kapazität $C$ mit dem komplexen Widerstand $1/(pC)$.

Betrachteter Vierpol und dazugehöriges Pol–Nullstellen–Diagramm

Damit lautet die $p$–Übertragungsfunktion:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {R + {1}/{(pC)} } {pL + R +{1}/{(pC)} }= \frac {1 + p \cdot{RC} } {1 + p \cdot{RC}+ p^2 \cdot{LC} } \hspace{0.05cm} .$$

Setzt man $p = {\rm j} · 2πf$ ein, so erhält man die Fourier–Übertragungsfunktion (bzw. den Frequenzgang). Dividiert man in obiger Gleichung Zähler und Nenner durch $LC$, so ergibt sich:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {R} {L}\cdot \frac {p + {1}/{(RC)} } {p^2 + {R}/ {L}\cdot p + {1}/{(LC)} }= K \cdot \frac {p - p_{\rm o } } {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})} \hspace{0.05cm} .$$

Im rechten Gleichungsteil ist die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}(p)$ in Pol–Nullstellen–Notation angegeben. Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich für $R = 50 \ \rm Ω$, $L = 25\ \rm µ H$ und $C = 62.5 \ \rm nF$ folgende Werte:

die Konstante $K = R/L = 2 · 10^6 \cdot 1/{\rm s}$,
die Nullstelle $p_{\rm o} = -1/(RC) = -0.32 · 10^6 \cdot 1/{\rm s},$
die beiden Pole $p_{\rm x1}$ und $p_{\rm x2}$ als Lösung der Gleichung

$$p^2 + \frac {R} {L}\cdot p + \frac{1}{LC} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -\frac {R} {2L}\pm \sqrt{\frac {R^2} {4L^2}- \frac{1}{LC} }$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -10^6 \cdot {1}/{\rm s} \pm \sqrt{10^{12} \cdot {1} /{\rm s^2}-0.64 \cdot 10^{12} \cdot {1}/ {\rm s^2} }\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1 }= -0.4 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s},\hspace{0.2cm}p_{\rm x 2 }= -1.6 \cdot 10^6\cdot {1}/ {\rm s} \hspace{0.05cm} .$$

In der obigen Grafik ist rechts das Pol–Nullstellen–Diagramm angegeben.

Die beiden Achsen bezeichnen den Real– und den Imaginärteil der Variablen $p$, jeweils normiert auf den Wert $10^6 · \rm 1/s\; (= 1/µs)$.
Man erkennt die Nullstelle bei $p_{\rm o} =\, –0.32$ als Kreis und die Polstellen bei $p_{\rm x1} = \,–0.4$ und $p_{\rm x2} = \,–1.6$ als Kreuze.

Eigenschaften der Pole und Nullstellen

Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}(p)$ einer jeden realisierbaren Schaltung wird durch $Z$ Nullstellen und $N$ Pole zusammen mit einer Konstanten $K$ vollständig beschrieben, wobei folgende Einschränkungen gelten:

Es gilt stets $Z ≤ N$. Mit $Z > N$ wäre im Grenzfall für $p → ∞$ (also für sehr hohe Frequenzen) auch die $p$–Übertragungsfunktion "unendlich groß".
Die Nullstellen $p_{\rm oi}$ und die Pole $p_{ {\rm x}i}$ sind im allgemeinen komplex und weisen wie $p$ die Einheit $\rm 1/s$ auf. Gilt $Z < N$, so besitzt auch die Konstante $K$ eine Einheit.
Die Pole und Nullstellen können reell sein, wie im letzten Beispiel gezeigt. Sind sie komplex, so treten immer zwei konjugiert–komplexe Polstellen bzw. zwei konjugiert–komplexe Nullstellen auf, da $H_{\rm L}(p)$ stets eine reelle gebrochen–rationale Funktion darstellt.
Alle Pole liegen in der linken Halbebene oder auf der imaginären Achse (Grenzfall). Diese Eigenschaft ergibt sich aus der erforderlichen und vorausgesetzten Kausalität zusammen mit dem Hauptsatz der Funktionstheorie, der im nächsten Kapitel angegeben wird.
Nullstellen können sowohl in der linken als auch in der rechten $p$–Halbebene auftreten oder auch auf der imaginären Achse. Ein Beispiel für Nullstellen in der rechten Halbebene findet man in der Aufgabe 3.4Z, die sich mit Allpässen beschäftigt.
Bei den so genannten Minimum–Phasen–Systemen sind in der rechten $p$–Halbebene nicht nur Pole verboten, sondern auch Nullstellen. Der Realteil aller Singularitäten ist hier nie positiv.

Diese Eigenschaften werden nun an drei Beispielen verdeutlicht.

$\text{Example 3:}$ Ausgehend von der bereits im letzten Abschnitt betrachteten Vierpolschaltung $(L$ im Längszweig, $R$ und $C$ im Querzweig$)$ können die charakteristischen Größen der Übertragungsfunktion wie folgt angegeben werden:

$$K = 2A, \hspace{0.2cm}p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }= -A \pm \sqrt{A^2-B^2}, \hspace{0.2cm}p_{\rm o }= - \frac{B^2}{2A} \hspace{0.05cm} \hspace{0.2cm} {\rm mit } \hspace{0.2cm} A = \frac {R} {2L}, \hspace{0.2cm}B = \frac{1}{\sqrt{LC} } \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt drei verschiedene Diagramme mit unterschiedlichen Kapazitätswerten $C$. Es gilt stets $R = 50 \ \rm Ω$ und $L = 25 \ \rm µ H$. Die Achsen sind auf die Variable $A = R/(2L) = 10^6 · \rm 1/s$ normiert, und der konstante Faktor ist jeweils $K = 2A = 2 · 10^6 · \rm 1/s.$

Lage der Nullstelle und der Pole für $Z = 1$ und $N = 2$

Für $B < A$ erhält man zwei reelle Pole und eine Nullstelle rechts von $-A/2$. Für $C = 62.5 \ \rm nF$ ergibt sich (linkes Diagramm):

$$ {B}/ {A}= 0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1}/A = -0.4 , \hspace{0.2cm}p_{\rm x 2}/A= -1.6 , \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.32 \hspace{0.05cm} .$$

Für $B > A$ ergeben sich zwei konjugiert–komplexe Pole und eine Nullstelle links von $-A/2$. Für $C = 8 \ \rm nF$ (rechtes Diagramm):

$${B}/ {A}= \sqrt{5} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1,\hspace{0.05cm}2 }/A= -1\pm {\rm j}\cdot 2,\hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A\approx -2.5 \hspace{0.05cm} .$$

Der Fall $A = B$ führt zu einer reellen doppelten Polstelle und einer Nullstelle bei $– A/2$. Für $C = 400 \ \rm nF$ (mittleres Diagramm):

$$ {B}/ {A}= 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm x 1}/A= p_{\rm x 2}/A= -1, \hspace{0.2cm}p_{\rm o}/A= -0.5 \hspace{0.05cm} .$$

Die Impulsantworten $h(t)$ ergeben sich entsprechend dem folgenden Kapitel Laplace–Rücktransformation wie folgt:

Bei der linken Konstellation ist $h(t)$ aperiodisch abklingend.
Bei der rechten Konstellation ist $h(t)$ gedämpft oszillierend.
Bei der mittleren Konstellation spricht man vom aperiodischen Grenzfall.

Grafische Ermittlung von Dämpfung und Phase

Gegeben sei die $p$–Übertragungsfunktion in der Pol–Nullstellen–Notation:

$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z (p - p_{\rm o i})} {\prod\limits_{i=1}^N (p - p_{\rm x i})}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{...} \cdot (p - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Zum herkömmlichen Frequenzgang $H(f)$ kommt man, indem man das Argument $p$ von $H_{\rm L}(p)$ durch ${\rm j} \cdot 2πf$ ersetzt:

Ausgangsdiagramm zur Berechnung
von Dämpfung und Phase

$$H(f)= K \cdot \frac {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm o 2})\cdot \text{...} \cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})} {({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 1})({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{\rm x 2})\cdot \text{...}\cdot ({\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N})} \hspace{0.05cm} .$$

Wir betrachten nun eine feste Frequenz $f$ und beschreiben die Abstände und Winkel aller Nullstellen durch Vektoren:

$$R_{ {\rm o} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm o} i}= |R_{{\rm o} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm o} i} }, \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , Z \hspace{0.05cm} .$$

In gleicher Weise gehen wir für die Polstellen vor:

$$R_{ {\rm x} i} = {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f - p_{ {\rm x} i}= |R_{ {\rm x} i}| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.03cm}\phi_{ {\rm x} i} }, \hspace{0.3cm}i= 1, \text{...}\ , N \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt die Beträge und Phasenwinkel für ein System

mit $Z = 2$ Nullstellen in der rechten Halbebene
und $N = 2$ Polstellen in der linken Halbebene.

Zu berücksichtigen ist zudem die Konstante $K$.

Mit dieser Vektordarstellung kann für den Frequenzgang geschrieben werden:

$$H(f)= K \cdot \frac {|R_{ {\rm o} 1}| \cdot |R_{ {\rm o} 2}|\cdot ... \cdot |R_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm} Z}|} {|R_{ {\rm x} 1}| \cdot |R_{ {\rm x} 2}|\cdot \text{...} \cdot |R_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm} N}|} \cdot {\rm e^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot [ \phi_{ {\rm o} 1}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} 2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm}\text{...}. \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm o} \hspace{-0.03cm}{\it Z}}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 1}\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\phi_{ {\rm x} 2} \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} \phi_{ {\rm x} \hspace{-0.03cm}{\it N} }]} } \hspace{0.05cm} .$$

Stellt man $H(f)$ durch die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und die Phasenfunktion $b(f)$ nach der allgemein gültigen Beziehung $H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$ dar, so erhält man durch den Vergleich mit der obigen Gleichung das folgende Ergebnis:

Bei geeigneter Normierung aller dimensionsbehafteten Größen gilt für die Dämpfung in Neper $(1 \ \rm Np$ entspricht $8.686 \ \rm dB)$:

$$a(f) = -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + \sum \limits_{i=1}^N {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm x} i}|- \sum \limits_{i=1}^Z {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{ {\rm o} i}| \hspace{0.05cm} .$$

Die Phasenfunktion in Radian $\rm (rad)$ ergibt sich entsprechend der oberen Skizze zu

$$b(f) = \phi_K + \sum \limits_{i=1}^N \phi_{ {\rm x} i}- \sum \limits_{i=1}^Z \phi_{ {\rm o} i}\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \phi_K = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ \pi \end{array} \right. \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \end{array}\begin{array}{*{20}c} { K > 0\hspace{0.05cm},} \\ { K <0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$

Zur Berechnung der Dämpfungs– und Phasenfunktion (Bildschirmabzug des Programms "Kausale Systeme & Laplace–Transformation" in einer früheren deutschen Version)

$\text{Example 4:}$ Die Grafik verdeutlicht die Berechnung

der Dämpfungsfunktion $a(f)$ ⇒ roter Kurvenverlauf, und
der Phasenfunktion $b(f)$ ⇒ grüner Kurvenverlauf

eines Vierpols, der durch den Faktor $K = 1.5$, eine Nullstelle bei $-3$ und zwei Pole bei $–1 \pm {\rm j} · 4$ festliegt.

Die angegebenen Zahlenwerte gelten für die Frequenz $2πf = 3$:

$$a \big [f = {3}/({2\pi}) \big ] = 0.453\,\,{\rm Np}= 3.953\,\,{\rm dB}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.4cm}\big \vert H \big [f = {3}/({2\pi}) \big ]\big \vert = 0.636,$$

$$ b\big [f = {3}/({2\pi}) \big ] = -8.1^\circ \hspace{0.05cm} .$$

Die Herleitung dieser Zahlenwerte ist im umrahmten Block verdeutlicht.

Für den Betragsfrequenzgang $\vert H(f)\vert$ ⇒ blauer Kurvenverlauf ergibt sich ein bandpassähnlicher Verlauf mit

$$\vert H(f = 0)\vert \approx 0.25\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \vert H(f = {4}/(2\pi)\vert \approx 0637\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \vert H(f \rightarrow \infty)\vert= 0 \hspace{0.05cm} .$$