Modulation Methods/Quality Criteria

1. Modulation Methods
2. General Description
3. Quality Criteria

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Ideal Distortionless System

In all subsequent chapters, the following model will be assumed:

Block diagram describing modulation and demodulation

The task of any message transmission system is to provide a signal  $v(t)$  at a spatially distant sink that differs as little as possible from the source signal   $q(t)$ .

$\text{Definition:}$  An  ideal system  is achieved when the following conditions hold:

$$v(t) = q(t) + n(t), \hspace{1cm}n(t) \to 0.$$

This takes into account that  $n(t) \equiv 0$  is physically impossible due to Thermal Noise.

In practice, the  $q(t)$  and  $v(t)$  signals will not differ by more than  $n(t)$  for the following reasons:

• Non-ideal realization of the modulator and demodulator,
• linear attenuation distortions and phase distortions, as well as nonlinearities,
• external disturbances and additional stochastic noise processes,
• frequency-independent damping and delay.

$\text{Definition:}$  A  distortionless system  is achieved, if from the above list only the lattermost restriction is effective:

$$v(t) = \alpha \cdot q(t- \tau) + n(t), \hspace{1cm}n(t) \to 0.$$

• Due to the damping ratio  $α$ , the sink signal  $v(t)$ is only "quieter" compared to the source signal  $q(t)$ .
• Even a delay  $τ$  is often tolerable, at least for a unidirectional transmission.
• In contrast, in bidirectional communications – such as a telephone call – a delay of 300 milliseconds is already perceived as a significant disturbance.

Signal–to–noise power ratio

In the general case, the sink signal  $v(t)$  will still differ from   $α · q(t - τ)$  , and the error signal is characterised by:

$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) + \varepsilon_{\rm St} (t).$$

This error signal is composed of two components:

• linear and nonlinear distortions  $ε_{\rm V}(t)$, which are caused by the frequency responses of the modulator, channel, and demodulator and thus exhibit deterministic (time-invariant) behavior;
• a stochastic component $ε_{\rm St}(t)$ , which originates from the RF interference   $n(t)$  at the demodulator input. However, unlike   $n(t)$ ,   $ε_{\rm St}(t)$  is usually a low-frequency noise disturbance.

$\text{Definition:}$  As a measure of the quality of the communication system, the signal-to-noise power ratio  $ρ_v$  at the sink is defined as the quotient of the signal power (variance) of the useful component  $v(t) - ε(t)$  and the interference component  $ε(t)$ , respectively:

$$\rho_{v} = \frac{ P_{v -\varepsilon} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm},\hspace{0.7cm}\text{with}\hspace{0.7cm} P_{v -\varepsilon} = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} } {\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t,\hspace{0.5cm} P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon^2(t)} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} } {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$

For the power of the useful part, we obtain  $τ$ regardless of the running time :

$$P_{v -\varepsilon} = \overline{\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2} = \overline{\alpha^2 \cdot q^2(t - \tau)}= \alpha^2 \cdot P_{q}.$$

Here,  $P_q$  denotes the power of the source signal $q(t)$:

$$P_{q} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {q^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$

  This gives:

$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$

In the following, we will refer to  $ρ_v$  as the Signal–to–Noise–Ratio (or Sink SNR for short) and  $10 · \lg \ ρ_v$ as the Sink–to-Noise Ratio, which is expressed in dB when using the logarithm of ten   $(\lg)$ .

Zur Verdeutlichung des Fehlersignals

$\text{Example 1:}$  On the right, you can see an exemplary section of the (blue) source signal  $q(t)$  and the (red) sink signal  $v(t)$, which are noticeably different.

However, the middle graph makes it clear that the main difference between  $q(t)$  and  $v(t)$  is due to the damping factor  $α = 0.7$  and the transmission delay  $τ = 0.1\text{ ms}$ 

The bottom sketch shows the remaining error signal  $ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$  after correcting for attenuation and delay.  We refer to the root mean square (variance) of this signal as the noise power  $P_ε$.

To calculate the sink SNR  $ρ_v$   $P_ε$  must be related to the useable signal power  $α^2 · P_q$ . This is obtained from the variance of the signal  $α · q(t - τ)$, plotted in light blue in the middle graph.

From the characteristics  $\alpha = 0.7$   ⇒   $\alpha^2 \approx 0.5$  as well as  $P_{q} = 8\,{\rm V^2}$  and  ${P_{\varepsilon} } = 0.04\,{\rm V^2}$ assumed here, we obtain the sink SNR  $ρ_v ≈ 100$  and the sink-to-noise ratio $10 · \lg ρ_v ≈ 20$ dB.

• Das Fehlersignal  $ε(t)$  – und damit auch das Sinken–SNR  $ρ_v$  – berücksichtigt alle Unzulänglichkeiten des betrachteten Nachrichtenübertragungssystems  (Verzerrungen, externe Störungen, Rauschen, usw.).
• Im Folgenden werden wir aus Darstellungsgründen die unterschiedlichen Effekte getrennt betrachten.

Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen

Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen, das heißt zu einem Sinkensignal  $v(t) ≠ α · q(t - τ)$, das sich nicht nur durch eine Dämpfung und eine Laufzeit von  $q(t)$  unterscheidet.  Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen und folgendem Modell aus:

Vereinfachtes Modell eines Übertragungssystems

• Das additive Störsignal  $n(t)$  am Kanalausgang (Demodulatoreingang) sei vernachlässigbar klein und wird nicht berücksichtigt.

• Alle Komponenten von Modulator und Demodulator seien linear,
• ebenso wie der Kanal, der somit durch seinen Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  vollständig beschrieben wird.

Je nach Art und Realisierung von Modulator und Demodulator treten folgende Signalverfälschungen auf:

Lineare Verzerrungen  entsprechend der Beschreibung im  gleichnamigen Kapitel  des Buches "Lineare zeitinvariante Systeme":

• Lineare Verzerrungen können im Allgemeinen durch einen Entzerrer kompensiert werden, was allerdings bei Vorhandensein einer stochastischen Störung  $n(t)$  stets zu einer höheren Störleistung und damit zu einem geringeren Sinken–SNR führt.
• Solche lineare Verzerrungen werden weiter in  Dämpfungsverzerrungen  und  Phasenverzerrungen  unterteilt.

Nichtlineare Verzerrungen entsprechend der Beschreibung im  gleichnamigen Kapitel  des Buches "Lineare zeitinvariante Systeme":

• Nichtlineare Verzerrungen sind irreversibel und damit eine stärkere Beeinträchtigung als lineare Verzerrungen.
• Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor  $K$, der mit dem Sinken–SNR in folgendem Zusammenhang steht:  

$$\rho_{v} = {1}/{K^2} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Angabe des Klirrfaktors setzt jedoch eine harmonische Schwingung als Quellensignal voraus.

Wir verweisen hier auf drei grundlegende Lernvideos:

• Lineare und nichtlineare Verzerrungen,
• Eigenschaften des Übertragungskanals,
• Einige Anmerkungen zur Übertragungsfunktion.

$\text{Zwei weitere Anmerkungen:}$

1.   Die Verzerrungen bezüglich  $q(t)$  und  $v(t)$  sind immer dann von nichtlinearer Art sind, wenn der Kanal nichtlineare Komponenten beinhaltet und damit bereits nichtlineare Verzerrungen bezüglich der Signale  $s(t)$  und  $r(t)$  vorliegen. 
2.   Ebenso führen Nichtlinearitäten bei Modulator und Demodulator stets zu nichtlinearen Verzerrungen.

Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodell

Zur Untersuchung des Rauschverhaltens der einzelnen Modulations– und Demodulationsverfahren gehen wir meist vom so genannten  AWGN–Kanal  aus, wobei die Abkürzung für  "$\rm A$dditive $\rm W$hite $\rm G$aussian $\rm N$oise"  steht und die Eigenschaften dieses Kanalmodells bereits hinreichend beschreibt.  Wir weisen Sie hier gerne auch auf das dreiteilige Lernvideo  Der AWGN-Kanal  hin.

• Das additive Störsignal beinhaltet alle Frequenzanteile gleichermaßen;  $n(t)$  besitzt ein konstantes Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$ und eine diracförmige Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$:

$${\it \Phi}_n(f) = \frac{N_0}{2}\hspace{0.15cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.15cm} \varphi_n(\tau) = \frac{N_0}{2} \cdot \delta (\tau)\hspace{0.05cm}.$$

Der Faktor  $1/2$  in diesen Gleichungen berücksichtigt jeweils die zweiseitige Spektraldarstellung.

• Beispielsweise gilt bei thermischem Rauschen für die physikalische Rauschleistungsdichte  (das heißt:  einseitige Betrachtungsweise)  mit der Rauschzahl  $F ≥ 1$  und der absoluten Temperatur  $θ$:

$${N_0}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta , \hspace{0.3cm}k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23}{ {\rm Ws} }/{ {\rm K} }\hspace{0.2cm}{\rm (Boltzmann-Konstante)}\hspace{0.05cm}.$$

• Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben.  Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf  $B$  zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung:

$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$

• Das Störsignal  $n(t)$  besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$   ⇒ Amplitudenverteilung  mit Störeffektivwert  $σ_n$:

$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it n^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$

• Eigentlich ist beim AWGN–Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  zu setzen.  Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen  (beachten Sie:  Ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt ebenfalls nicht zu Verzerrungen):

$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$

Untersuchungen beim AWGN–Kanal

Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus.  Wir werden dabei stets das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:

• Je mehr Sendeleistung  $P_{\rm S}$  aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR  $ρ_v$.  Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
• $ρ_v$  nimmt mit steigender Rauschleistungsdichte  $N_0$  monoton ab.  Eine Vergrößerung von  $N_0$  kann meist durch eine größere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  ausgeglichen werden.
• Je kleiner der Parameter  $α_{\rm K}$  des Kanals ist, um so kleiner wird  $ρ_v$.  Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung  $P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$  ist.
• Ein breitbandigeres Quellensignal  $($größeres  $B_{\rm NF})$  führt zu kleinerem  $ρ_v$   ⇒   man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern   ⇒   mehr werden Störungen wirksam.

Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens

$\text{Fazit:}$  Unter Berücksichtigung dieser vier Aussagen kommt man zu dem Schluss, dass es Sinn macht, das Sinken–SNR in der Form

$$\rho_{v } = \rho_{v }(\xi) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm}\xi = \frac{ {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} }$$

normiert darzustellen.  Im Folgenden bezeichnen wir  $ξ$  als die  Leistungskenngröße.

Die in  $ξ$  zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert, während das Qualitätskriterium  $ρ_v$  durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.

$\text{Beispiel 2:}$  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR  $ρ_v$  für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße  

Untersuchungen beim AWGN–Kanal

$$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$$

• Beim  $\text{System A}$  gilt  $ρ_ν = ξ$.  Beispielsweise führen die Systemparameter

$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$

$$ {N_0} = 10^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$

zu  $ξ = ρ_v = 10000$  (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).  Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern

$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$

$${N_0} = 10^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

• Auch beim  $\text{System B}$  besteht mit  $ρ_v = ξ/3$  ein linearer Zusammenhang.  Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.  Die Steigung beträgt aber nur  $1/3$. 

Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend  $\text{System A}$  bei  Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger   ⇒   Modulationsgrad  $m → ∞$  festzustellen ist, während  $\text{System B}$  eine  Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger und Modulationsgrad  $m ≈ 0.5$  beschreibt.

• Das  $\text{System C}$  zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.  Für kleine  $ξ$–Werte ist dieses System dem  $\text{System A}$  überlegen, während für  $ξ = 10000$  die Qualität beider Systeme gleich ist.

Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße  $ξ$  wird das  $\text{System C}$  im Gegensatz zum $\text{System A}$ nicht signifikant verbessert.  Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.  Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen.

Meist werden die Größen  $ρ_v$  und  $ξ$  in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:

• Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das  $\text{System A}$  weiterhin die Winkelhalbierende.  Die geringere Steigung  $($Faktor $3)$  von  $\text{System B}$  führt nun zu einer Verschiebung um  $10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$  nach unten.
• Der Schnittpunkt der Systeme  $\text{A}$  und  $\text{C}$  verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von  $ξ = ρ_v = 10000$  auf  $10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.2:   Verzerrungen? Oder keine Verzerrung?

Aufgabe 1.2Z:   Linear verzerrendes System

Aufgabe 1.3:   Systemvergleich beim AWGN–Kanal

Aufgabe 1.3Z:   Thermisches Rauschen