Signals, Basis Functions and Vector Spaces

From LNTwww

# ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL #


Das vierte Hauptkapitel liefert eine abstrahierte Beschreibung der Digitalsignalübertragung, die auf Basisfunktionen und Signalraumkonstellationen aufbaut. Dadurch ist es möglich, sehr unterschiedliche Konfigurationen – zum Beispiel Bandpass–Systeme und solche für das Basisband – in einheitlicher Form zu behandeln. Der jeweils optimale Empfänger besitzt in allen Fällen die gleiche Struktur.

Im Einzelnen werden behandelt:

  • die Bedeutung von Basisfunktionen und deren Auffinden nach dem Gram–Schmidt–Verfahren,
  • die Struktur des optimalen Empfängers für die Basisbandübertragung,
  • das Theorem der Irrelevanz und dessen Bedeutung für die Herleitung optimaler Detektoren,
  • der optimale Empfänger für den AWGN–Kanal und Implementierungsaspekte,
  • die Systembeschreibung durch komplexes bzw.  $N$–dimensionales Gaußsches Rauschen,
  • die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung und –approximation bei sonst idealen Bedingungen,
  • die Anwendung der Signalraumbeschreibung auf Trägerfrequenzsysteme,
  • die unterschiedlichen Ergebnisse für OOK, M–ASK, M–PSK, M–QAM und M–FSK,
  • die unterschiedlichen Ergebnisse für kohärente bzw. nichtkohärente Demodulation.


Nahezu alle Ergebnisse dieses Kapitels wurden bereits in früheren Abschnitten hergeleitet. Grundlegend neu ist jedoch die Herangehensweise:

  • Im $\rm LNTwww$–Buch "Modulationsverfahren" sowie in den ersten drei Kapiteln dieses Buches wurden bereits bei den Herleitungen die spezifischen Systemeigenschaften berücksichtigt – zum Beispiel, ob die Übertragung des Digitalsignals im Basisband erfolgt oder ob eine digitale Amplituden–, Frequenz– oder Phasenmodulation vorliegt.
  • Hier sollen nun die Systeme dahingehend abstrahiert werden, dass sie einheitlich behandelt werden können. Der jeweils optimale Empfänger besitzt in allen Fällen die gleiche Struktur, und die Fehlerwahrscheinlichkeit lässt sich auch für nichtgaußverteiltes Rauschen angeben.

Anzumerken ist, dass sich durch diese eher globale Vorgehensweise gewisse Systemunzulänglichkeiten nur sehr ungenau erfassen lassen, wie zum Beispiel

  • der Einfluss eines nichtoptimalen Empfangsfilters auf die Fehlerwahrscheinlichkeit,
  • ein falscher Schwellenwert (Schwellendrift), oder
  • Phasenjitter (Schwankungen der Abtastzeitpunkte).

Insbesondere bei Vorhandensein von Impulsinterferenzen sollte also weiterhin entsprechend dem  Hauptkapitel 3  vorgegangen werden.

Die Beschreibung basiert auf dem Skript [KöZ08][1] von  Ralf Kötter  und  Georg Zeitler, das sich stark an das Lehrbuch [WJ65][2] anlehnt. Gerhard Kramer, Lehrstuhlinhaber des LNT seit 2010, behandelt in seiner Vorlesung [Kra17][3] die gleiche Thematik mit sehr ähnlicher Nomenklatur.

Um unseren eigenen Studenten an der TU München das Lesen nicht unnötig zu erschweren, halten wir uns weitestgehend an diese Nomenklatur, auch wenn diese von anderen $\rm LNTwww$–Kapiteln abweicht.

Zur Nomenklatur im vierten Kapitel


Gegenüber den anderen Kapiteln in $\rm LNTwww$ ergeben sich hier folgende Nomenklaturunterschiede:

  • Die zu übertragende  Nachricht  ist ein ganzzahliger Wert  $m \in \{m_i\}$  mit  $i = 0$, ... , $M-1$, wobei  $M$  den Symbolumfang angibt. Wenn es die Beschreibung vereinfacht, wird  $i = 1$, ... , $M$   induziert.


  • Das Ergebnis des Entscheidungsprozesses beim Empfänger ist ebenfalls ein Integerwert mit dem gleichen Symbolalphabet wie beim Sender. Man bezeichnet dieses Ergebnis auch als den Schätzwert:
$$\hat{m} \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} i = 0, 1, \text{...}\hspace{0.05cm} , M-1\hspace{0.2cm} ({\rm bzw.}\,\,i = 1, 2, \text{...}\hspace{0.05cm}, M) \hspace{0.05cm}.$$
$${\rm Pr} ({\cal E}) = {\rm Pr} ( \hat{m} \ne m) = 1 - {\rm Pr} ({\cal C}), \hspace{0.4cm}\text{Komplementärereignis:}\hspace{0.2cm} {\rm Pr} ({\cal C}) = {\rm Pr} ( \hat{m} = m) \hspace{0.05cm}.$$
  • Bei einer  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  (WDF) wird nun entsprechend  $p_r(\rho)$  zwischen der Zufallsgröße   ⇒   $r$  und der Realisierung   ⇒   $\rho$  unterschieden. Bisher wurde für eine WDF die Bezeichnung  $f_r(r)$  verwendet.


  • Mit der Schreibweise  $p_r(\rho)$  sind  $r$  und  $\rho$  Skalare. Sind dagegen Zufallsgröße und Realisierung Vektoren (geeigneter Länge), so wird dies durch Fettschrift ausgedrückt:     $p_{ \boldsymbol{ r}}(\boldsymbol{\rho})$  mit den Vektoren  $ \boldsymbol{ r}$  und  $\boldsymbol{\rho}$.


  • Um Verwechslungen mit Energiewerten zu vermeiden, heißt nun der Schwellenwert  $G$  anstelle von  $E$  und dieser wird in diesem Kapitel vorwiegend als Entscheidungsgrenze bezeichnet.


  • Ausgehend von den beiden reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  erhält man für das  innere Produkt:
$$<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t \hspace{0.05cm}.$$
$$||x(t) || = \sqrt{<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}x(t) \hspace{-0.1cm}>} \hspace{0.05cm}.$$


Gegenüber dem Skript  $\rm [KöZ08]$[1] unterscheidet sich die Bezeichnungsweise hier wie folgt:

  • Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses  $E$  ist hier  ${\rm Pr}(E)$  anstelle von  $P(E)$. Diese Nomenklaturänderung wurde auch deshalb vorgenommen, da in manchen Gleichungen Wahrscheinlichkeiten und Leistungen gemeinsam vorkommen.


  • Bandpass–Signale werden weiterhin mit dem Index "BP" gekennzeichnet und nicht wie in [KöZ08][1] mit einer Tilde. Das entsprechende Tiefpass–Signal ist (meist) mit dem Index "TP" versehen.

Orthonormale Basisfunktionen


Wir gehen in diesem Kapitel von einer Menge  $\{s_i(t)\}$  möglicher Sendesignale aus, die den möglichen Nachrichten  $m_i$  eineindeutig zugeordnet sind. Mit  $i = 1$, ... , $M$  gilt:

$$m \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} s(t) \in \{s_i(t) \}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm} m = m_i \hspace{0.1cm} \Leftrightarrow \hspace{0.1cm} s(t) = s_i(t) \hspace{0.05cm}.$$

Für das Folgende setzen wir weiter voraus, dass die  $M$ Signale  $s_i(t)$  energiebegrenzt  sind, was meist gleichzeitig bedeutet, dass sie nur von endlicher Dauer sind.

$\text{Satz:}$  Eine jede Menge  $\{s_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$  energiebegrenzter Signale lässt sich in  $N \le M$  orthonormale Basisfunktionen  $\varphi_1(t), \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$  entwickeln. Es gilt:

$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) , \hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N \hspace{0.05cm}.$$

Jeweils zwei Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  und  $\varphi_k(t)$  müssen orthonormal zueinander sein, das heißt, es muss gelten  $(\delta_{jk}$  nennt man das Kronecker–Symbol  oder das "Kronecker-Delta"$)$:

$$<\hspace{-0.1cm}\varphi_j(t), \hspace{0.05cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm}> = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\,d \it t = {\rm \delta}_{jk} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.1cm}j = k \\ {\rm falls}\hspace{0.1cm} j \ne k \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$


Der Parameter  $N$  gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  benötigt werden, um die  $M$  möglichen Sendesignale darzustellen. Mit anderen Worten:   $N$  ist die Dimension des Vektorraums, der von den  $M$  Signalen aufgespannt wird. Dabei gilt:

  • Ist  $N = M$, so sind alle Sendesignale zueinander orthogonal. Sie sind nicht notwendigerweise orthonormal, das heißt, die Energien  $E_i = <\hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.05cm}s_i(t) \hspace{-0.1cm}>$  können durchaus ungleich Eins sein.
  • Der Fall  $N < M$  ergibt sich, wenn mindestens ein Signal  $s_i(t)$  als Linearkombination von Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  dargestellt werden kann, die sich aus anderen Signalen  $s_j(t) \ne s_i(t)$  ergeben haben.


Darstellung der drei Sendesignale durch zwei Basisfunktionen

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten  $M = 3$  energiebegrenzte Signale gemäß der Grafik. Man erkennt sofort:

  • Die Signale  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$  sind zueinander orthogonal.
  • Die Energien sind  $E_1 = A^2 \cdot T = E$  und  $E_2 = (A/2)^2 \cdot T = E/4$.
  • Die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sind jeweils formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$  und beide besitzen die Energie Eins:
$$\varphi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1} } = \frac{s_1(t)}{\sqrt{A^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} } \cdot \frac{s_1(t)}{A}$$
$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_1(t) = s_{11} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{11} = \sqrt{E}\hspace{0.05cm},$$
$$\varphi_2(t) =\frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2} } = \frac{s_2(t)}{\sqrt{(A/2)^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} } \cdot \frac{s_2(t)}{A/2}\hspace{0.05cm}$$
$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_2(t) = s_{21} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{21} = {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}.$$
  • Das Signal  $s_3(t)$  kann durch die vorher bestimmten Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  ausgedrückt werden:
$$s_3(t) =s_{31} \cdot \varphi_1(t) + s_{32} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},$$
$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} s_{31} = {A}/{2} \cdot \sqrt {T}= {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{32} = - A \cdot \sqrt {T} = -\sqrt{E} \hspace{0.05cm}.$$

Im rechten unteren Bild sind die Signale in einer 2D–Darstellung mit den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  als Achsen dargestellt, wobei  $E = A^2 \cdot T$  gilt und der Zusammenhang zu den anderen Grafiken durch die Farbgebung zu erkennen ist.

Die vektoriellen Repräsentanten der Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_3(t)$  in diesem zweidimensionellen Vektorraum lassen sich daraus wie folgt ablesen:

$$\mathbf{s}_1 = (\sqrt{ E}, \hspace{0.1cm}0), $$
$$\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.1cm}\sqrt{ E}/2), $$
$$\mathbf{s}_3 = (\sqrt{ E}/2,\hspace{0.1cm}-\sqrt{ E} ) \hspace{0.05cm}.$$


Das Verfahren nach Gram-Schmidt


Im  $\text{Beispiel 1}$  auf der letzten Seite war die Angabe der beiden orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$  sehr einfach, da diese formgleich mit  $s_1(t)$  bzw.  $s_2(t)$  waren. Das  Gram–Schmidt–Verfahren  findet die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_N(t)$  für beliebig vorgebbare Signale  $s_1(t)$, ... , $s_M(t)$, und zwar wie folgt:

  • Die erste Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist stets formgleich mit  $s_1(t)$. Es gilt:
$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}} = \frac{s_1(t)}{|| s_1(t)||} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_1(t) || = 1, \hspace{0.2cm}s_{11} =|| s_1(t)||,\hspace{0.2cm}s_{1j} = 0 \hspace{0.2cm}{\rm f{\rm \ddot{u}r }}\hspace{0.2cm} j \ge 2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Es wird nun angenommen, dass aus den Signalen  $s_1(t)$, ... , $s_{k-1}(t)$  bereits die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  berechnet wurden  $(n \le k)$. Dann berechnen wir mittels  $s_k(t)$  die Hilfsfunktion
$$\theta_k(t) = s_k(t) - \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj} \cdot \varphi_j(t) \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm} s_{kj} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_k(t), \hspace{0.05cm}\varphi_j(t) \hspace{-0.1cm} >, \hspace{0.2cm} j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}, n-1\hspace{0.05cm}.$$
  • Ist  $\theta_k(t) \equiv 0$   ⇒   $||\theta_k(t)|| = 0$, so liefert  $s_k(t)$  keine neue Basisfunktion. Vielmehr lässt sich dann  $s_k(t)$  durch die  $n-1$  bereits vorher gefundenen Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$  ausdrücken:
$$s_k(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj}\cdot \varphi_j(t) \hspace{0.05cm}.$$
  • Eine neue Basisfunktion (nämlich die  $n$–te) ergibt sich, falls  $||\theta_k(t)|| \ne 0$  ist:
$$\varphi_n(t) = \frac{\theta_k(t)}{|| \theta_k(t)||} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_n(t) || = 1\hspace{0.05cm}.$$


Diese Prozedur wird fortgesetzt, bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden. Danach hat man alle  $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  gefunden. Der Sonderfall  $N = M$  ergibt sich nur dann, wenn alle  $M$  Signale linear voneinander unabhängig sind.

Dieses Verfahren wird nun an einem Beispiel verdeutlicht. Wir verweisen auch auf das interaktive Applet  Gram–Schmidt–Verfahren.

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die  $M = 4$  energiebegrenzten Signale  $s_1(t)$, ... , $s_4(t)$  entsprechend der Grafik. Zur Vereinfachung der Berechnungen ist hier sowohl die Amplitude als auch die Zeit normiert.

Zum Gram-Schmidt-Verfahren

Man erkennt aus diesen Skizzen:

  • Die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  ist formgleich mit  $s_1(t)$. Wegen  $E_1 = \vert \vert s_1(t) \vert \vert ^3 = 3 \cdot 0.5^2 = 0.75$  ergibt sich  $s_{11} = \vert \vert s_1(t) \vert \vert = 0.866$. $\varphi_1(t)$  selbst besitzt abschnittsweise die Werte  $\pm 0.5/0.866 = \pm0.577$.
  • Zur Berechnung der Hilfsfunktion  $\theta_2(t)$  berechnen wir
$$s_{21} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.05cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0 \cdot (+0.577) + 1 \cdot (-0.577)+ 0 \cdot (-0.577)= -0.577$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = (0.333, 0.667, -0.333) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\vert \vert \theta_2(t) \vert \vert^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 + (-1/3)^2 = 0.667$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{22} = \sqrt{0.667} = 0.816,\hspace{0.3cm} \varphi_2(t) = \theta_2(t)/s_{22} = (0.408, 0.816, -0.408)\hspace{0.05cm}. $$
  • Die inneren Produkte zwischen  $s_1(t)$  mit  $\varphi_1(t)$  bzw.  $\varphi_2(t)$  liefern folgende Ergebnisse:
$$s_{31} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.577) + 0.5 \cdot (-0.577)- 0.5 \cdot (-0.577)= 0.289$$
$$s_{32} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.408) + 0.5 \cdot (+0.816)- 0.5 \cdot (-0.408)= 0.816$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_3(t) = s_3(t) - 0.289 \cdot \varphi_1(t)- 0.816 \cdot \varphi_2(t) = 0\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet:   Die grüne Funktion  $s_3(t)$  liefert keine neue Basisfunktion  $\varphi_3(t)$, im Gegensatz zur Funktion  $s_4(t)$. Die numerischen Ergebnisse hierfür können der Grafik entnommen werden.

Basisfunktionen komplexer Zeitsignale


In der Nachrichtentechnik hat man es oft mit komplexen Zeitfunktionen zu tun,

  • nicht etwa, weil es komplexe Signale in der Realität gibt, sondern
  • weil die Beschreibung eines Bandpass–Signals im äquivalenten Tiefpass–Bereich zu komplexen Signalen führt.

Die Bestimmung der  $N \le M$  komplexwertigen Basisfunktionen  $\xi_k(t)$  aus den  $M$  komplexen Signalen  $s_i(t)$  kann ebenfalls mit dem  Gram–Schmidt–Verfahren  erfolgen, doch ist nun zu berücksichtigen, dass das innere Produkt zweier komplexer Signale  $x(t)$  und  $y(t)$  wie folgt zu berechnen ist:

$$< \hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.1cm}y(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y^{\star}(t)\,d \it t \hspace{0.05cm}.$$

Die entsprechenden Gleichungen lauten nun mit  $i = 1, \text{..}. , M$  und  $k = 1, \text{..}. , N$:

$$s_i(t) = \sum\limits_{k = 1}^{N}s_{ik} \cdot \xi_k(t),\hspace{0.2cm}s_i(t) \in {\cal C},\hspace{0.2cm}s_{ik} \in {\cal C} ,\hspace{0.2cm}\xi_k(t) \in {\cal C} \hspace{0.05cm},$$
$$< \hspace{-0.1cm}\xi_k(t),\hspace{0.1cm} \xi_j(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = \int_{-\infty}^{+\infty}\xi_k(t) \cdot \xi_j^{\star}(t)\,d \it t = {\rm \delta}_{ik} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c}{\rm falls}\hspace{0.15cm} k = j \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm} k \ne j \\ \end{array}\hspace{0.05cm}.$$

Natürlich lässt sich jede komplexe Größe auch durch zwei reelle Größen ausdrücken, nämlich durch Realteil und Imaginärteil. Somit erhält man hier folgende Gleichungen:

$$s_{i}(t) = s_{{\rm I}\hspace{0.02cm}i}(t) + {\rm j} \cdot s_{{\rm Q}\hspace{0.02cm}i}(t), \hspace{0.2cm} s_{{\rm I}\hspace{0.02cm}i}(t) = {\rm Re}\big [s_{i}(t)\big], \hspace{0.2cm} s_{{\rm Q}\hspace{0.02cm}i}(t) = {\rm Im} \big [s_{i}(t)\big ],$$
$$\xi_{k}(t) = \varphi_k(t) + {\rm j} \cdot \psi_k(t), \hspace{0.2cm} \varphi_k(t) = {\rm Re}\big [\xi_{k}(t)\big ], \hspace{0.2cm} \psi_k(t) = {\rm Im} \big [\xi_{k}(t)\big ],$$
$$\hspace{0.35cm} s_{ik} = s_{{\rm I}\hspace{0.02cm}ik} + {\rm j} \cdot s_{{\rm Q}\hspace{0.02cm}ik}, \hspace{0.2cm} s_{{\rm I}ik} = {\rm Re} \big [s_{ik}\big ], \hspace{0.2cm} s_{{\rm Q}ik} = {\rm Im} \big [s_{ik}\big ],$$
$$ \hspace{0.35cm} s_{{\rm I}\hspace{0.02cm}ik} ={\rm Re}\big [\hspace{0.01cm} < \hspace{-0.1cm} s_i(t), \hspace{0.15cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm}\big ], \hspace{0.2cm}s_{{\rm Q}\hspace{0.02cm}ik} = {\rm Re}\big [\hspace{0.01cm} < \hspace{-0.1cm} s_i(t), \hspace{0.15cm}{\rm j} \cdot \psi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm}\big ] \hspace{0.05cm}. $$

Die Nomenklatur ergibt sich aus der Hauptanwendung für komplexe Basisfunktionen, nämlich der  Quadratur–Amplitudenmodulation  (QAM).

  • Der Index "I" steht für Inphasekomponente und gibt den Realteil an,
  • während die Quadraturkomponente (Imaginärteil) mit dem Index "Q" gekennzeichnet ist.


Um Verwechslungen mit der imaginären Einheit zu vermeiden, wurden hier die komplexen Basisfunktionen  $\xi_{k}(t)$  mit  $k$  induziert und nicht mit  $j$.

Dimension der Basisfunktionen


Bei der Basisbandübertragung sind die möglichen Sendesignale (Betrachtung nur einer Symboldauer)

$$s_i(t) = a_i \cdot g_s(t), \hspace{0.2cm} i = 0, \text{...}\hspace{0.05cm} , M-1,$$

wobei  $g_s(t)$  den Sendegrundimpuls angibt und die  $a_i$  in den ersten drei Hauptkapiteln als die möglichen Amplitudenkoeffizienten  bezeichnet wurden. Anzumerken ist, dass ab sofort für die Laufvariable  $i$  die Werte  $0$  bis  $M-1$  vorausgesetzt werden.

Nach der Beschreibung dieses Kapitels handelt es sich unabhängig von der Stufenzahl  $M$  um ein eindimensionales Modulationsverfahren  $(N = 1)$, wobei bei der Basisbandübertragung

  • die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  gleich dem energienormierten Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist:
$$\varphi_1(t) ={g_s(t)}/{\sqrt{E_{gs}}} \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} E_{gs} = \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2(t)\,d \it t \hspace{0.05cm},$$
  • die dimensionslosen Amplitudenkoeffizienten  $a_i$  in die Signalraumpunkte  $s_i$  umzurechnen sind, die die Einheit "Wurzel aus Energie" aufweisen.


Die Grafik zeigt eindimensionale Signalraumkonstellationen  $(N=1)$  für die Basisbandübertragung, nämlich

Eindimensionale Modulationsverfahren
(a) binär unipolar (oben)   ⇒   $M = 2$,
(b) binär bipolar (Mitte)   ⇒   $M = 2$, sowie
(c) quaternär bipolare (unten)   ⇒   $M = 4$.

Die Grafik beschreibt gleichzeitig die eindimensionalen Trägerfrequenzsysteme


Die dargestellten Signale  $s_i(t)$  und die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  beziehen sich stets auf den äquivalenten Tiefpass–Bereich.

Im Bandpass–Bereich ist $\varphi_1(t)$ eine auf den Zeitbereich $0 \le t \le T$ begrenzte harmonische Schwingung.
Weitere Anmerkungen:

  • In der Grafik rechts sind am Beispiel "Rechteckimpuls" die zwei bzw. vier möglichen Sendesignale  $s_i(t)$  angegeben.
  • Man kann daraus den Zusammenhang zwischen Impulsamplitude  $A$  und Signalenergie  $E = A^2 \cdot T$  erkennen.
  • Die jeweils linken Darstellungen auf der  $\varphi_1(t)$–Achse gelten aber unabhängig von der  $g_s(t)$–Form, nicht nur für Rechtecke.


Zweidimensionale Modulationsverfahren


Zweidimensionale Signalraumkonstellationen für  $M$–PSK und  $M$–QAM

Zu den zweidimensionalen Modulationsverfahren  $(N = 2)$  gehören

Allgemein ist bei orthogonaler FSK die Anzahl  $N$  der Basisfunktionen  $\varphi_k(t)$  gleich der Anzahl  $M$  möglicher Sendesignale  $s_i(t)$. $N=2$  ist deshalb nur für  $M=2$  möglich.

Die Grafik zeigt Beispiele von Signalraumkonstellationen für Zweidimensionale Modulationsverfahren:

  • Die linke Grafik zeigt die 8–PSK–Konstellation. Beschränkt man sich auf die rot umrandeten Punkte, so liegt eine 4–PSK (Quaternary Phase Shift Keying, QPSK) vor.
  • Die rechte Grafik bezieht sich auf die 16–QAM beziehungsweise – wenn man nur die rot umrandeten Signalraumpunkte betrachtet – auf die 4–QAM.
  • Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass die 4–QAM mit der QPSK bei entsprechender Achsenskalierung identisch ist.


Die Grafiken beschreiben die Modulationsverfahren sowohl im Bandpass– als auch im äquivalenten Tiefpassbereich:

  • Bei der Betrachtung als Bandpass–System ist die Basisfunktion  $\varphi_1(t)$  cosinusförmig und   $\varphi_2(t)$  (minus–)sinusförmig – vergleiche  Aufgabe 4.2.
  • Dagegen ist nach der Transformation der QAM–Systeme in den äquivalenten Tiefpassbereich  $\varphi_1(t)$  gleich dem energienormierten (also mit der Energie "1") Sendegrundimpuls  $g_s(t)$, während   $\varphi_2(t)={\rm j} \cdot \varphi_1(t)$  zu setzen ist. Näheres hierzu finden Sie in der  Aufgabe 4.2Z.

Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 4.1: Zum Gram-Schmidt-Verfahren

Aufgabe 4.1Z: Andere Basisfunktionen

Aufgabe 4.2: AM/PM-Schwingungen

Aufgabe 4.2Z: Achtstufiges Phase Shift Keying

Aufgabe 4.3: Unterschiedliche Frequenzen

Quellenverzeichnis

  1. 1.0 1.1 1.2 Kötter, R., Zeitler, G.: Nachrichtentechnik 2. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.
  2. Wozencraft, J. M.; Jacobs, I. M.: Principles of Communication Engineering. New York: John Wiley & Sons, 1965.
  3. Kramer, G.: Nachrichtentechnik 2. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2017.