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Ideal Distortionless System
In all subsequent chapters, the following model will be assumed:
The task of any message transmission system is to provide a signal $v(t)$ at a spatially distant sink that differs as little as possible from the source signal $q(t)$ .
$\text{Definition:}$ An ideal system is achieved when the following conditions hold:
- $$v(t) = q(t) + n(t), \hspace{1cm}n(t) \to 0.$$
This takes into account that $n(t) \equiv 0$ is physically impossible due to Thermal Noise.
In practice, the $q(t)$ and $v(t)$ signals will not differ by more than $n(t)$ for the following reasons:
- Non-ideal realization of the modulator and demodulator,
- linear attenuation distortions and phase distortions, as well as nonlinearities,
- external disturbances and additional stochastic noise processes,
- frequency-independent damping and delay.
$\text{Definition:}$ A distortionless system is achieved, if from the above list only the lattermost restriction is effective:
- $$v(t) = \alpha \cdot q(t- \tau) + n(t), \hspace{1cm}n(t) \to 0.$$
- Due to the damping ratio $α$ , the sink signal $v(t)$ is only "quieter" compared to the source signal $q(t)$ .
- Even a delay $τ$ is often tolerable, at least for a unidirectional transmission.
- In contrast, in bidirectional communications – such as a telephone call – a delay of 300 milliseconds is already perceived as a significant disturbance.
Signal–to–noise power ratio
Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal $v(t)$ auch gegenüber $α · q(t - τ)$ noch unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:
- $$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) + \varepsilon_{\rm St} (t).$$
Dieses Fehlersignal setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
- den linearen und nichtlinearen Verzerrungen $ε_{\rm V}(t)$, die durch die Frequenzgänge von Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden und somit deterministisches (zeitinvariantes) Verhalten zeigen;
- der stochastischen Komponente $ε_{\rm St}(t)$, die von der HF–Störung $n(t)$ am Demodulatoreingang herrührt. Im Gegensatz zu $n(t)$ handelt es sich bei $ε_{\rm St}(t)$ jedoch meist um eine niederfrequente Rauschstörung.
$\text{Definition:}$ Als Maß für die Qualität des Nachrichtensystems wird das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis $ρ_v$ an der Sinke als Quotient der Leistungen (Varianzen) von Nutzanteil $v(t) - ε(t)$ und Störanteil $ε(t)$ definiert:
- $$\rho_{v} = \frac{ P_{v -\varepsilon} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm},\hspace{0.7cm}\text{mit}\hspace{0.7cm} P_{v -\varepsilon} = \overline{[v(t)-\varepsilon(t)]^2} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} } {\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t,\hspace{0.5cm} P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon^2(t)} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M} } \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M} } {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
Für die Leistung des Nutzanteils erhält man unabhängig von der Laufzeit $τ$:
- $$P_{v -\varepsilon} = \overline{\big[v(t)-\varepsilon(t)\big]^2} = \overline{\alpha^2 \cdot q^2(t - \tau)}= \alpha^2 \cdot P_{q}.$$
Hierbei bezeichnet $P_q$ die Leistung des Quellensignals $q(t)$:
- $$P_{q} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {q^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$
Damit erhält man:
- $$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$
Im Folgenden bezeichnen wir $ρ_v$ kurz als das Signal–to–Noise–Ratio (oder kurz Sinken–SNR) und $10 · \lg \ ρ_v$ als den Sinken–Störabstand, der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus $(\lg)$ in dB angegeben wird.
$\text{Beispiel 1:}$ Rechts sehen Sie einen beispielhaften Ausschnitt des (blauen) Quellensignals $q(t)$ und des (roten) Sinkensignals $v(t)$, die sich merklich voneinander unterscheiden.
Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen $q(t)$ und $v(t)$ auf den Dämpfungsfaktor $α = 0.7$ und die Laufzeit $τ = 0.1\text{ ms}$ zurückzuführen ist.
Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal $ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$ nach Korrektur von Dämpfung und Laufzeit. Den quadratischen Mittelwert (die Varianz) dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung $P_ε$.
Zur Berechnung des Sinken–SNR $ρ_v$ muss $P_ε$ in Bezug zur Nutzleistung $α^2 · P_q$ gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals $α · q(t - τ)$.
Mit den hier vorausgesetzten Kenngrößen $\alpha = 0.7$ ⇒ $\alpha^2 \approx 0.5$ sowie $P_{q} = 8\,{\rm V^2}$ und ${P_{\varepsilon} } = 0.04\,{\rm V^2}$ ergibt sich das Sinken–SNR $ρ_v ≈ 100$ bzw. der Sinken–Störabstand $10 · \lg ρ_v ≈ 20$ dB.
- Das Fehlersignal $ε(t)$ – und damit auch das Sinken–SNR $ρ_v$ – berücksichtigt alle Unzulänglichkeiten des betrachteten Nachrichtenübertragungssystems (Verzerrungen, externe Störungen, Rauschen, usw.).
- Im Folgenden werden wir aus Darstellungsgründen die unterschiedlichen Effekte getrennt betrachten.
Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen
Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen, das heißt zu einem Sinkensignal $v(t) ≠ α · q(t - τ)$, das sich nicht nur durch eine Dämpfung und eine Laufzeit von $q(t)$ unterscheidet. Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen und folgendem Modell aus:
- Das additive Störsignal $n(t)$ am Kanalausgang (Demodulatoreingang) sei vernachlässigbar klein und wird nicht berücksichtigt.
- Alle Komponenten von Modulator und Demodulator seien linear,
- ebenso wie der Kanal, der somit durch seinen Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ vollständig beschrieben wird.
Je nach Art und Realisierung von Modulator und Demodulator treten folgende Signalverfälschungen auf:
Lineare Verzerrungen entsprechend der Beschreibung im gleichnamigen Kapitel des Buches "Lineare zeitinvariante Systeme":
- Lineare Verzerrungen können im Allgemeinen durch einen Entzerrer kompensiert werden, was allerdings bei Vorhandensein einer stochastischen Störung $n(t)$ stets zu einer höheren Störleistung und damit zu einem geringeren Sinken–SNR führt.
- Solche lineare Verzerrungen werden weiter in Dämpfungsverzerrungen und Phasenverzerrungen unterteilt.
Nichtlineare Verzerrungen entsprechend der Beschreibung im gleichnamigen Kapitel des Buches "Lineare zeitinvariante Systeme":
- Nichtlineare Verzerrungen sind irreversibel und damit eine stärkere Beeinträchtigung als lineare Verzerrungen.
- Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor $K$, der mit dem Sinken–SNR in folgendem Zusammenhang steht:
- $$\rho_{v} = {1}/{K^2} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Angabe des Klirrfaktors setzt jedoch eine harmonische Schwingung als Quellensignal voraus.
Wir verweisen hier auf drei grundlegende Lernvideos:
- Lineare und nichtlineare Verzerrungen,
- Eigenschaften des Übertragungskanals,
- Einige Anmerkungen zur Übertragungsfunktion.
$\text{Zwei weitere Anmerkungen:}$
- Die Verzerrungen bezüglich $q(t)$ und $v(t)$ sind immer dann von nichtlinearer Art sind, wenn der Kanal nichtlineare Komponenten beinhaltet und damit bereits nichtlineare Verzerrungen bezüglich der Signale $s(t)$ und $r(t)$ vorliegen.
- Ebenso führen Nichtlinearitäten bei Modulator und Demodulator stets zu nichtlinearen Verzerrungen.
Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodell
Zur Untersuchung des Rauschverhaltens der einzelnen Modulations– und Demodulationsverfahren gehen wir meist vom so genannten AWGN–Kanal aus, wobei die Abkürzung für "$\rm A$dditive $\rm W$hite $\rm G$aussian $\rm N$oise" steht und die Eigenschaften dieses Kanalmodells bereits hinreichend beschreibt. Wir weisen Sie hier gerne auch auf das dreiteilige Lernvideo Der AWGN-Kanal hin.
- Das additive Störsignal beinhaltet alle Frequenzanteile gleichermaßen; $n(t)$ besitzt ein konstantes Leistungsdichtespektrum $\rm (LDS)$ und eine diracförmige Autokorrelationsfunktion $\rm (AKF)$:
- $${\it \Phi}_n(f) = \frac{N_0}{2}\hspace{0.15cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.15cm} \varphi_n(\tau) = \frac{N_0}{2} \cdot \delta (\tau)\hspace{0.05cm}.$$
- Der Faktor $1/2$ in diesen Gleichungen berücksichtigt jeweils die zweiseitige Spektraldarstellung.
- Beispielsweise gilt bei thermischem Rauschen für die physikalische Rauschleistungsdichte (das heißt: einseitige Betrachtungsweise) mit der Rauschzahl $F ≥ 1$ und der absoluten Temperatur $θ$:
- $${N_0}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta , \hspace{0.3cm}k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23}{ {\rm Ws} }/{ {\rm K} }\hspace{0.2cm}{\rm (Boltzmann-Konstante)}\hspace{0.05cm}.$$
- Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben. Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf $B$ zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung:
- $$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$
- Das Störsignal $n(t)$ besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ ⇒ Amplitudenverteilung mit Störeffektivwert $σ_n$:
- $$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it n^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$
- Eigentlich ist beim AWGN–Kanal $H_{\rm K}(f) = 1$ zu setzen. Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen (beachten Sie: Ein frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt ebenfalls nicht zu Verzerrungen):
- $$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$
Untersuchungen beim AWGN–Kanal
Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus. Wir werden dabei stets das Sinken–SNR $ρ_v$ in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:
- Je mehr Sendeleistung $P_{\rm S}$ aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR $ρ_v$. Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
- $ρ_v$ nimmt mit steigender Rauschleistungsdichte $N_0$ monoton ab. Eine Vergrößerung von $N_0$ kann meist durch eine größere Sendeleistung $P_{\rm S}$ ausgeglichen werden.
- Je kleiner der Parameter $α_{\rm K}$ des Kanals ist, um so kleiner wird $ρ_v$. Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung $P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$ ist.
- Ein breitbandigeres Quellensignal $($größeres $B_{\rm NF})$ führt zu kleinerem $ρ_v$ ⇒ man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern ⇒ mehr werden Störungen wirksam.
$\text{Fazit:}$ Unter Berücksichtigung dieser vier Aussagen kommt man zu dem Schluss, dass es Sinn macht, das Sinken–SNR in der Form
- $$\rho_{v } = \rho_{v }(\xi) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm}\xi = \frac{ {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} }$$
normiert darzustellen. Im Folgenden bezeichnen wir $ξ$ als die Leistungskenngröße.
Die in $ξ$ zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert, während das Qualitätskriterium $ρ_v$ durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.
$\text{Beispiel 2:}$ In der linken Grafik ist das Sinken–SNR $ρ_v$ für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße
- $$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$$
- Beim $\text{System A}$ gilt $ρ_ν = ξ$. Beispielsweise führen die Systemparameter
- $$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
- $$ {N_0} = 10^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$
- zu $ξ = ρ_v = 10000$ (siehe kreisförmige Markierung der Skizze). Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
- $$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
- $${N_0} = 10^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
- Auch beim $\text{System B}$ besteht mit $ρ_v = ξ/3$ ein linearer Zusammenhang. Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt. Die Steigung beträgt aber nur $1/3$.
- Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend $\text{System A}$ bei Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger ⇒ Modulationsgrad $m → ∞$ festzustellen ist, während $\text{System B}$ eine Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger und Modulationsgrad $m ≈ 0.5$ beschreibt.
- Das $\text{System C}$ zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten. Für kleine $ξ$–Werte ist dieses System dem $\text{System A}$ überlegen, während für $ξ = 10000$ die Qualität beider Systeme gleich ist.
Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße $ξ$ wird das $\text{System C}$ im Gegensatz zum $\text{System A}$ nicht signifikant verbessert. Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird. Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen.
Meist werden die Größen $ρ_v$ und $ξ$ in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:
- Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das $\text{System A}$ weiterhin die Winkelhalbierende. Die geringere Steigung $($Faktor $3)$ von $\text{System B}$ führt nun zu einer Verschiebung um $10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$ nach unten.
- Der Schnittpunkt der Systeme $\text{A}$ und $\text{C}$ verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von $ξ = ρ_v = 10000$ auf $10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$.
Aufgaben zum Kapitel
Aufgabe 1.2: Verzerrungen? Oder keine Verzerrung?
Aufgabe 1.2Z: Linear verzerrendes System
Aufgabe 1.3: Systemvergleich beim AWGN–Kanal
Aufgabe 1.3Z: Thermisches Rauschen
