Non-Linear Digital Modulation

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Properties of nonlinear modulation methods

All modulation methods can be alternatively classified as:

• amplitude, phase and frequency modulation,
• analog and digital modulation methods,
• linear and non-linear modulation methods.

Considering this last distinction, the following definition applies:

$\text{Definition:}$  A  linear modulation method  is present if any linear combination of signals at modulator input leads to a corresponding linear combination at its output. Otherwise, it is   non-linear modulation.

At the  beginning of the book  it was already pointed out that the main difference between an analog and a digital modulation method is that in the first one an analog source signal  $q(t)$  is present and in the second one a digital signal. However, a closer look will reveal that there are a few more differences between these methods. This will be discussed in more detail below.

The following diagram shows some of the differences with respect to the classifications given above.

Analog and digital AM, PM and FM methods KORREKTUR

•  Analog amplitude modulation  $\rm (AM)$  is a linear method. The locus curve - that is, the equivalent low-pass signal  $s_{\rm TP}(t)$  represented in the complex plane - is a straight line.

• There are many similarities between  analog phase modulation  $\rm (PM)$  and  analog frequency modulation  $\rm (FM)$    ⇒ common description as angle modulation  $\rm (WM)$.  In that case, the locus curve is the arc of a circle. In harmonic oscillation, there is a line spectrum  $S(f)$  at multiples of the message frequency $f_{\rm N}$  around the carrier frequency  $f_{\rm T}$.

•  Digital amplitude modulation, referred to as either   Amplitude Shift Keying  $\rm (ASK)$  or as On–Off–Keying  $\rm (OOK)$ , is also linear. In the binary case, the locus curve consists of only two points.

• Since binary phase modulation $($Binary Phase Shift Keying,  $\rm BPSK)$ can be represented as  $\rm ASK$  with bipolar amplitude coefficients, it is also linear.  The shape of the BPSK power-spectral density is essentially determined by the magnitude square spectrum  $|G_s(f)|^2$  of the fundamental transmission pulse.

• However, this also means:  

1.   The BPSK spectral function is continuous in  $f$, unlike the analog phase modulation of a harmonic oscillation (which only has one frequency!).
2.   If one were to consider BPSK as (analog) phase modulation with digital source signal  $q(t)$ , then an infinite number of Bessel line spectra would have to be convolved together to calculate  ${\it Φ}_s(f)$  when  $Q(f)$  is represented as an infinite sum of individual frequencies.

• Since  quadrature amplitude modulation  with four signal space points   $\rm (4–QAM)$  can also be described as the sum of two mutually orthogonal, quasi-independent BPSK systems, it too represents a linear modulation scheme. The same applies to the  higher-level QAM methods  such as   $\rm 16–QAM$,   $\rm 64–QAM$, ...

• Higher-level   Phase Shift Keying, such as  $\rm 8–PSK$, is linear only in special cases, see [Klo01].  Digital frequency modulation  $($Frequency Shift Keying,  $\rm FSK)$  is always nonlinear. This method is described below, where we restrict our focus to the binary case  $\rm (2-FSK)$  beschränken.

FSK – Frequency Shift Keying

Now we assume

• the transmitted signal of the analog frequency modulation,

$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [\psi(t)\big ] \hspace{0.2cm} {\rm with} \hspace{0.2cm} \psi(t) = 2\pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t,$$

• the rectangular binary signal with  $a_ν ∈ \{+1, –1\}$   ⇒   bipolar signaling:

$$q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T) \hspace{0.2cm} {\rm with} \hspace{0.2cm} g_s(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{for}} \\{\rm{for}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} 0 < t < T\hspace{0.05cm}, \\ {\rm otherwise} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Summarizing the amplitude  $A$  and the modulator constant  $K_{\rm FM}$  into the frequency deviation (see below for definition)

$${\rm \Delta}f_{\rm A} = \frac{A \cdot K_{\rm FM}}{2 \pi}$$

then the das  FSK transmit signal  in the  $ν$–th time interval is:

$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$

This can be calculated with the two possible signal frequencies

$$f_{\rm +1} = f_{\rm T} +{\rm \Delta}f_{\rm A} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = f_{\rm T} -{\rm \Delta}f_{\rm A}$$

and written as:

$$s(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t ) \\ s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} a_{ \nu} = +1 \hspace{0.05cm}, \\ a_{ \nu} = -1\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

• Thus, at any given time, only one of the two frequencies  $f_{+1}$  and  $f_{–1}$  arises. 
• The carrier frequency   $f_{\rm T}$  itself does not occur in the signal.

$\text{Definition:}$  The  frequency deviation  $Δf_{\rm A}$  is defined in the same way as for analog frequency modulation, namely as the maximum deviation of the instantaneous frequency  $f_{\rm A}(t)$  from the carrier frequency  $f_{\rm T}$. Sometimes the frequency deviation is also referred to as  $Δf$ or  $F$  in the literature.

Another important descriptive quantity in this context is the "modulation index", which was also already defined for analog frequency modulation as  $η = Δf_{\rm A}/f_{\rm N}$ .  For FSK, a slightly different definition is required, which is taken into account here with a different variable symbol:   $η   ⇒   h$.

$\text{Definition:}$  For digital frequency modulation (FSK), the  modulation index   $h$  denotes the ratio of the total frequency deviation and the symbol rate  $1/T$:

$$h = \frac{2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{1/T} = 2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}\cdot T \hspace{0.05cm}.$$

Sometimes  $h$  is also referred to as phase deviation in the literature.

Signal waveforms  $q(t)$,  $z(t)$  and  $s(t)$  for binary FSK

$\text{Example 1:}$  The graph below shows the FSK transmitted signal  $s(t)$  for

• the binary source signal  $q(t)$  sketched above with amplitude values  $\pm A =\pm 1 \ \rm V$, and
• the carrier signal  $z(t)$  drawn below with four oscillations per symbol duration  $(f_{\rm T} · T = 4)$.

The underlying frequency deviation is $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒ modulation index  $h = 2$. The two possible frequencies are  $f_{\rm +1} = 5/T \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = 3/T \hspace{0.05cm}.$

Thus, for an FSK transmission system with bit rate  $1 \ {\rm Mbit/s} \ \ (T = 1 \ \rm µ s)$ , the following FM constant would have to be used:

$$K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{A } = \frac{2 \pi }{A \cdot T } \approx 6.28 \cdot 10^{6}\,\,{\rm V^{-1}s^{-1} }\hspace{0.05cm}.$$

Coherent demodulation of FSK

The diagram shows the best possible demodulator for binary FSK that operates coherently and thus requires knowledge of the phase of the FSK signal. This is accounted for in the block diagram by assuming that the received signal  $r(t)$  is equal to the transmitted signal  $s(t)$  - see signal waveforms in the previous section.

Coherent FSK demodulator

This demodulator operates according to the following principle (see upper arrangement):

• We are dealing with a  maximum–likelihood receiver  $\rm (ML)$  with a  Matched-Filter realization.  This filter with frequency response $H_{\rm MF}(f)$  an also be realized as an integrator with the assumed rectangular fundamental transmit pulse  $g_s(t)$ .
• Both signals  $b_{+1}(t)$  and  $b_{–1}(t)$  before their corresponding matched–filters ergeben are obtained by phase-appropriate multiplication with the oscillations of the frequencies  $f_{+1}$  and  $f_{–1}$, respectively.
• The maximum likelihood receiver is known to decide on the branch (symbol) with the larger "metric", taking into account the downstream matched filter.

This means:

•  $a_ν = +1$  was probably sent if the following condition is satisfied:

$$d_{\rm +1}(\nu \cdot T) > d_{\rm -1}(\nu \cdot T) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d(\nu \cdot T) = d_{\rm +1}(\nu \cdot T) - d_{\rm -1}(\nu \cdot T) > 0\hspace{0.05cm}.$$

The upper block diagram has been drawn according to this description for better understanding.

• Of course, matched filtering could instead also be moved to the right of the discrimination, as shown in the lower model .
• Then only one filter has to be implemented.

In  Exercise 4.13 , this FSK demodulator is discussed in detail. On the exercise page you can also see the corresponding signal waveforms.

Error probability of orthogonal FSK

$\text{Definition:}$  One speaks of   orthogonal FSK,

• if the modulation index   $h$  is an integer multiple of  $0.5$ , and thus
• the frequency deviation  $Δf_{\rm A}$  is an integer multiple of  $0.25/T$.

For the coherent demodulator, the correlation coefficient between  $d_{+1}(T_{\rm D})$  and  $d_{–1}(T_{\rm D})$  is zero at all detection times. Thus, the magnitude  $|d(T_{\rm D})|$ - the distance of the detection samples from the threshold - is constant. No pulse interference occurs.

If one assumes

• orthogonal FSK,
• an AWGN channel  $($captured by the quotient  $E_{\rm B}/N_0)$, and
• the coherent demodulation described here

then the bit error probability is given by:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/(2 N_0 }) \hspace{0.1cm}\right ).$$

This corresponds to a degradation of  $3 \ \rm dB$ compared to

  BSPK  because

• although the coherent FSK demodulator gives the same result with respect to the useful signal,
• and the noise powers in the two branches are also exactly the same as with BPSK,
• due to the subtraction, the total noise power is doubled.

However, while non-coherent demodulation is not possible under any circumstances in binary phase modulation (BPSK), there is also a non-coherent FSK demodulator, but with a somewhat increased probability of error:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$

The derivation of this equation is given in the chapter  Carrier Frequency Systems with Non-Coherent Demodulation  of the book "Digital Signal Transmission".

Binary FSK with Continuous Phase Matching

We continue to consider the orthogonal FSK. The graph shows the source signal  $q(t)$  at the top and, drawn below, the FSK signal  $s_{\rm A}(t)$  with frequency deviation  $Δf_{\rm A} = 1/T$ ⇒ modulation index  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T = 2$. The following should be noted about the other signal waveforms:

Binary FSK signals with  $h = 2$,  $h = 1$  and  $h = 0.5$, partially with phase matching

• The FSK signal $s_{\rm B}(t)$  uses instantaneous frequencies  $f_{+1} = 4.5/T$,  $f_{–1} = 3.5/T$   ⇒   $Δf_{\rm A} ·T = 0.5$   ⇒   $h = 1.$ This FSK is also orthogonal because of $h = 1$  $($multiple of  $0.5)$.  However, with smaller  $h$ , the bandwidth efficiency is better   ⇒   the spectrum  $S_{\rm B}(f)$  is narrower than  $S_{\rm A}(f)$.

• However, in the signal $s_{\rm B}(t)$ , one can detect a phase jump by  $π$ at each symbol boundary, which again results in a broadening of the spectrum. Such phase jumps can be avoided by phase matching. This is then referred to as Continuous Phase Modulation  $\rm (CPM)$.

• Also, for the CPM signal  $s_{\rm C}(t)$ ,  $f_{+1} = 4.5/T, f_{–1} = 3.5/T$  and  $h = 1$ hold. . In the range  $0$ ... $T$ , the coefficient  $a_1 = +1$  is represented by  $\cos (2π·f_{+1}·t)$ , and in the range  $T$ ... $2T$ , on the other hand, the coefficient  $a_2 = +1$ , which is also positive, is represented by the function  $\ –\cos (2π·f_{+1}·t)$  shifted by  $π$ .

• The modulation index  $h = 0.5$  of signal nbsp;$s_{\rm D}(t)$  is the smallest value that allows orthogonal FSK ⇒ Minimum Shift Keying  $\rm (MSK)$. In MSK, four different initial phases are possible at each symbol boundary, depending on the previous symbols.

The interactive applet Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation (CPM) is available to illustrate the facts presented here.

MSK – Minimum Shift Keying

Blockschaltbild zur Erzeugung eines MSK–Signals

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Erzeugung einer MSK–Modulation und typische Signalverläufe an verschiedenen Punkten des MSK–Senders. Man erkennt

• das digitale Quellensignal am Punkt  (1), eine Folge von Diracimpulsen im Abstand  $T$, gewichtet mit den Koeffizienten  $a_ν ∈ \{–1, +1\}$:

$$q_\delta(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot \delta (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• das Rechtecksignal  $q_{\rm R}(t)$  am Punkt  (2)  nach Faltung mit dem Rechteckimpuls  $g(t)$  der Dauer  $T$  und der Höhe  $1/T$:

$$q_{\rm R}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• den  Frequenzmodulator  (Integrator und nachgeschalteter Phasenmodulator).  Für das Signal am Punkt  (3)  gilt:

$$\phi(t) = {\pi}/{2}\cdot \int_{0}^{t} q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$

Die Phasenwerte bei Vielfachen der Symboldauer  $T$  sind Vielfache von  $π/2$, wobei der für das MSK–Verfahren gültige Modulationsindex  $h = 0.5$  berücksichtigt ist.  Der Phasenverlauf ist linear.  Daraus ergibt sich das MSK–Signal am Punkt  (4)  des Blockschaltbildes zu

$$s(t) = s_0 \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + \phi(t)) = s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} )) \hspace{0.05cm}.$$

Realisierung der MSK als Offset–QPSK

Durch einen modifizierten Betrieb von  Offset–QPSK  $\rm (O–QPSK)$  lässt sich auch Minimum Shift Keying  $\rm (MSK)$  realisieren.

Gegenüber dem herkömmlichen Offset–QPSK–Betrieb  (obere Grafik)  sind folgende Modifikationen zu berücksichtigen, die in der unteren Grafik rot hervorgehoben sind:

Herkömmliches O–QPSK und O–QPSK in MSK–Betriebsart

• Die Symboldauer  $T$  der MSK ist gleich der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Eingangssignals, während bei der originären O–QPSK  $T = 2 \cdot T_{\rm B}$  gilt.
• Anstelle der Seriell–Parallel–Wandlung und Signalraumzuordnung müssen nun die Quellensymbole umcodiert werden:  

$$a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k.$$

• Alle Amplitudenkoeffizienten  $a_k$  mit geradzahligem Index  $(a_0,\ a_2$, ...$)$  werden dem Diracpuls im oberen Zweig eingeprägt, während  $a_1,\ a_3$, ...  im unteren Zweig übertragen werden.
• Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun  $2T$  anstelle von  $T$  und der Versatz  ("Offset")  im Quadraturzweig ist nicht mehr  $T/2$, sondern  $T$.  In beiden Fällen ist der Offset gleich  $T_{\rm B}$.
• Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls  $g_s(t)$  möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos \big ({\pi/2 \cdot t}/T \big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

$\text{Beispiel 2:}$ 

Signalverläufe der O–QPSK im MSK–Betrieb

• Die Grafik zeigt oben das binäre bipolare Quellensignal  $q(t)$,
• in der Mitte die äquivalenten TP–Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  im  $\rm I$– und  $\rm Q$–Zweig,
• unten den Phasenverlauf  $ϕ(t)$  des gesamten MSK–Sendesignals  $s(t)$.

Die Umcodierung  $a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k$  ist bereits berücksichtigt, ebenso der MSK–Grundimpuls:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array} {l} s_0 \cdot \cos ({\pi \cdot t}/{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r} } \\{\rm{f\ddot{u}r} } \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Man erkennt aus dem Vergleich des obersten und des untersten Diagramms:

• Der MSK–Phasenverlauf  $ϕ(t)$  ist abschnittsweise linear und steigt bzw. fällt innerhalb einer jeden Symboldauer um  $90^\circ \ (π/2)$, je nachdem, ob gerade  $q_k = +1$  oder  $q_k = -1$  anliegt.
• Das Sendesignal  $s(t)$  beinhaltet abschnittsweise die beiden Frequenzen  $f_{\rm T} ± 1/(4T)$.  Es hat prinzipiell den gleichen Verlauf wie das Signal  $s_{\rm D}(t)$  im Abschnitt  Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung.

Diese Form der MSK–Realisierung können Sie mit dem interaktiven Applet

 Quaternary Phase Shift Keying und Offset-QPSK 

bei folgenden Einstellungen darstellen:

• Offset–QPSK,
• MSK–Zuordnung,
• Cosinusimpuls.

General Description of Continuous Phase Modulation

Wir gehen weiter davon aus, dass die Quelle durch die Amplitudenkoeffizienten  $a_ν$  charakterisiert wird.  Diese können sowohl binär als auch  $M$–stufig sein.  Sie sind aber stets bipolar zu betrachten, zum Beispiel   $a_ν\in \{+1, -1\}$.

• Die  Phasenfunktion  $ϕ(t)$  kann bei  Continuous Phase Modulation  $\rm (CPM)$  allgemein in folgender Form dargestellt werden  $(h$  bezeichnet den Modulationsindex$)$:

$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot\int_{-\infty}^{t} \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (\tau - \nu \cdot T)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$

• In dieser Darstellung bezeichnet  $g(t)$  den  Frequenzimpuls, der folgende Bedingung erfüllen muss:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} g (t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 \hspace{0.05cm}.$$

• Mit dem  Phasenimpuls   $g_ϕ(t)$  gilt aber auch der folgende Zusammenhang:

$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_\phi (t - \nu \cdot T),\hspace{0.2cm}{\rm wobei}\hspace{0.2cm}g_\phi(t) = \int_{-\infty}^{t} g (\tau )\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau\hspace{0.05cm}.$$

Frequenzimpuls und Phasenimpuls einiger CPM–Varianten

Durch geeignete Wahl der Impulse  $g(t)$  bzw.  $g_ϕ(t)$  lassen sich viele CPM–Varianten realisieren. Einige davon sind nachfolgend dargestellt.

• Die Grafik zeigt jeweils oben den  CPM–Frequenzimpuls  $g(t)$  und unten den  CPM–Phasenimpuls  $g_ϕ(t)$.
• Die beiden linken Grafiken beschreiben die  $\rm MSK$.
• Die Bezeichnung  $\rm 1–REC$  gibt an, dass  $g(t)$  sich über eine einzige Symboldauer  $(T)$  erstreckt und rechteckförmig ist.

Die weiteren CPM–Varianten wurden mit dem Ziel entworfen, die bereits kleine Bandbreite des MSK–Signals weiter zu verringern:

• Bei  $\rm 1–RC$  ergibt sich allein durch den „weicheren” Raised–Cosine–Impuls  $g(t)$  gegenüber dem Rechteck ein schmaleres Leistungsdichtespektrum.
• Bei  $\rm 2–RC$  und  $\rm 2–REC$  handelt es sich um "Partial–Response"–Impulse, jeweils über  $2T$.  Dadurch wird der Phasenverlauf weicher.  Es wird aber auch die Demodulation erschwert, da in das Datensignal gezielte Pseudomehrstufigkeiten eingebracht werden.

Die Berechnung der CPM–Verfahren im Spektralbereich ist im allgemeinen kompliziert. Nur der Sonderfall „MSK” führt zu einfach handhabbaren Gleichungen, wie in der  Aufgabe A4.14  gezeigt wird.

$\text{Fazit:}$  Die  Continuous Phase Modulation  $\rm (CPM)$  ist keine Phasenmodulation, sondern ist eine  nichtlineare digitale Frequenzmodulation  $\rm (FSK)$, mit dem Ziel

• eine konstante Betragseinhüllende zu garantieren  (Einbrüche der Hüllkurve führen schon bei geringen Nichtlinearitäten zu Problemen), 
• einen stetigen Phasenverlauf zu ermöglichen  (Phasensprünge verbreitern das Spektrum).

Für genauere Informationen verweisen wir auf die Fachliteratur, zum Beispiel auf das empfehlenswerte Buch  [Kam04].

GMSK – Gaussian Minimum Shift Keying

Ein Vorteil der MSK ist der geringe Bandbreitenbedarf, weil:   Bandbreite ist stets teuer.

• Durch eine geringfügige Modifikation hin zum  Gaussian Minimum Shift Keying  $\rm (GMSK)$  wird das Spektrum weiter verschmälert.
• Diese Modulationsart wird zum Beispiel beim Mobilfunkstandard  GSM  angewendet.

Signalverläufe bei Gaussian Minimum Shift Keying  $\rm (GMSK)$

Aus der Grafik erkennt man:

• Der Frequenzimpuls  $g(t)= g_{\rm G}(t)$  ist nun nicht mehr rechteckförmig wie  $g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf.

• Dadurch ergibt sich ein weicherer Phasenverlauf am Punkt  (3)  als bei  MSK, bei dem  $ϕ(t)$  symbolweise linear ansteigt / abfällt.

• Man erreicht die sanfteren GMSK–Phasenübergänge durch einen  Gaußtiefpass.  Dessen Frequenzgang und Impulsantwort lauten mit der systemtheoretischen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 \cdot f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm}.$$

• Der resultierende Frequenzimpuls  $g(t)$  am Punkt  (2)  ergibt sich aus der Faltung von  $g_{\rm R}(t)$  und  $h_{\rm G}(t)$.

• Das Signal  $s(t)$  am Punkt  (4)  weist bei GMSK nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf wie bei MSK, auch wenn dies aus obiger Grafik mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist.

$\text{Beispiel 3:}$  Beim GSM–Verfahren ist die 3dB–Grenzfrequenz mit  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  spezifiziert, wobei zwischen der systemtheoretischen und der 3dB–Grenzfrequenz folgender Zusammenhang besteht:

$$H_{\rm G}(f= f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}dB}) = {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}{dB} } }/{2 f_{\rm G} })^2} = {1}/{\sqrt{2} }$$

$$\Rightarrow\hspace{0.15cm} f_{\rm 3 dB} = f_{\rm G} \cdot \sqrt { {4}/{\pi}\cdot {\rm ln }\sqrt{2} }\approx {2}/{3}\cdot f_{\rm G} \hspace{0.05cm}.$$

Aus  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  folgt damit auch  $f_{\rm G} · T ≈ 0.45$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.13: FSK–Demodulation

Aufgabe 4.14: Phasenverlauf der MSK

Aufgabe 4.14Z: Offset–QPSK vs. MSK

Aufgabe 4.15: MSK im Vergleich mit BPSK und QPSK

Aufgabe 4.15Z: MSK–Grundimpuls und MSK-Spektrum

Aufgabe 4.16: Vergleich zwischen binärer PSK und binärer FSK